第2讲　空间中的平行与垂直VIP

第2讲空间中的平行与垂直,高考定位1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.,1.(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面,真题感悟,解析若，则内有无数条直线与平行，当无数条直线互相平行时，与可能相交；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是的充要条件.答案B,2.(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则(),A.BMEN，且直线BM，EN是相交直线B.BMEN，且直线BM，EN是相交直线C.BMEN，且直线BM，EN是异面直线D.BMEN，且直线BM，EN是异面直线,解析连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交.,平面ECD平面ABCD，且BCDC，BC平面EDC，,故BMEN.答案B,3.(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为(),解析如图，依题意，平面与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.,答案A,4.(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.,(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离.,因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，ED平面C1DE，所以MN平面C1DE.,(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，又BCC1CC，BC，C1C平面C1CE，所以DE平面C1CE，故DECH.所以CH平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.由已知可得CE1，C1C4，,1.直线、平面平行的判定及其性质,(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.,考点整合,2.直线、平面垂直的判定及其性质,(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.,热点一空间点、线、面位置关系,【例1】(1)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(),(2)(开放题)(2019北京卷)已知l，m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.,解析(1)法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.,法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.即A项中直线AB与平面MNQ不平行.(2)已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与m，不能推出l，因为l可能与平行，或l与相交但不垂直；由lm与l能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或.,图(1)图(2),答案(1)A(2)若m，l，则lm(或若lm，l，则m，答案不唯一),探究提高1.判断空间位置关系命题的真假(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.,【训练1】已知直线m，l，平面，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则.其中正确的命题是()A.B.C.D.,解析对于，若，m，则m，又l，所以ml，故正确，排除B.对于，若ml，m，则l，又l，所以.正确.故选A.答案A,热点二空间平行、垂直关系的证明,【例2】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：,(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.,证明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.,(3)ABAD，而且ABED为平行四边形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，且CD平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，EF，BE平面BEF，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.,【迁移1】在本例条件下，证明平面BEF平面ABCD.,证明如图，连接AC，设ACBEO，连接FO，AE.,四边形ABCE为平行四边形.O为AC的中点，又F为PC的中点，则FOPA，又PA平面ABCD，FO平面ABCD.又FO平面BEF，平面BEF平面ABCD.,【迁移2】在本例条件下，若ABBC，求证：BE平面PAC.,证明连接AC，设ACBEO.ABCD，CD2AB，且E为CD的中点.,四边形ABCE为菱形，BEAC.又PA平面ABCD，又BE平面ABCD，PABE，又PAACA，PA，AC平面PAC，BE平面PAC.,探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.,【训练2】(2019江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC.,求证：(1)A1B1平面DEC1；(2)BEC1E.,证明(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.,(2)因为ABBC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC，所以C1CBE.又C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，且C1CACC，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.,热点三平面图形中的折叠问题,【例3】(2019全国卷)图是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图.,(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图中的四边形ACGD的面积.,(1)证明由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，BE，BC平面BCGE，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.,(2)解如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，又CG、EM平面BCGE，故DECG，DEEM.,故DM2.又CGBF2，所以四边形ACGD的面积为S224.,由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，又DEEME，DE，EM平面DEM，故CG平面DEM.又DM平面DEM，因此DMCG.,探究提高1.解决与折叠有关的问题的关键是找出折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.2.在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.,即在图2中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.,(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，OA1BE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高，,热点四空间线面关系的开放性问题,【例4】(2019北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.,(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由.,(1)证明因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.,因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.,又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.又因为ABCD，所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.,因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，,(3)解棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.理由如下：取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，,所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.,探究提高1.求解探究性问题常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立.2.探索线段上是否存在满足题意的点时，注意三点共线条件的应用.,(1)证明如图作FMCD，交PC于点M，连接EM，,又FMCDAE，所以四边形AEMF为平行四边形，所以AFEM，因为AF平面PEC，EM平面PEC，所以直线AF平面PEC.,要使平面PED平面PAB，只需ABDE，因为ABAD2，DAB30，,又因为PD平面ABCD，PDAB，PDDED，所以AB平面PDE，因为AB平面PAB，所以平面PDE平面PAB，,1.空间中点、线、面的位置关系的判定,(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.,2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：,(1