第1讲　等差数列与等比数列

第1讲等差数列与等比数列,高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.,1.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40，a55，则()A.an2n5B.an3n10,解析设首项为a1，公差为d.,真题感悟,所以an32(n1)2n5，,答案A,答案D,解析设等比数列an的公比为q，则ana1qn1qn1.,4.(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和.,解(1)设an的公比为q(q0)，由题设得2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为132n1n2.,1.等差数列,考点整合,2.等比数列,温馨提醒应用公式anSnSn1时一定注意条件n2，nN*.,热点一等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A.16B.8C.4D.2(2)(2019北京卷)设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列.求an的通项公式；记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值.,(1)解析设等比数列an的公比为q，依题意q0.由a53a34a1，得q43q24.q24，则q2.又S4a1(1qq2q3)15，所以a11.故a3a1q24.答案C,(2)解设an的公差为d.因为a110，所以a210d，a3102d，a4103d.因为a210，a38，a46成等比数列，所以(a38)2(a210)(a46).所以(22d)2d(43d).解得d2.所以ana1(n1)d2n12.法一由知，an2n12.则当n7时，an0；当n6时，an0，当n6时，an0，Sn12Sn0，故Sn12Sn.,(2)解由(1)知，Sn12Sn，当n2时，Sn2Sn1，两式相减，an12an(n2，nN*)，所以数列an从第二项起成等比数列，且公比q2.又S22S1，即a2a12a1，a2a110，得1.,若数列an是等比数列，则a212a12.1，经验证得1时，数列an是等比数列.,【迁移】若本例中条件“a11”改为“a12”其它条件不变，试求解第(2)问.,解由题意，得an12an(n2，nN*).又S22S1，a2a120.an(2)2n2(n2).若an是等比数列，又a12，a2(2)202a14，2.故存在2，此时an2n，数列an是等比数列.,【训练3】(1)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.已知等比数列an(nN*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“M数列”.,(1)证明设等比数列an的公比为q，则a10，q0.,整理得bn1bn12bn.又b2b11，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bnn(nN*).,热点四等差数列与等比数列的综合问题,【例4】(2018天津卷)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN*).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值.,解(1)设等比数列bn的公比为q(q0).由b11，b3b22，可得q2q20.因为q0，可得q2，故bn2n1.,设等差数列an的公差为d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，从而a11，d1，故ann.,整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以，n的值为4.,探究提高1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.,【训练4】已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与其前n项和Sn；(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使得对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围.,解(1)由a2a7a126，得a72，a14，an5n，,(2)由题意知b14，b22，b31，,Tm为递增数列，得4Tm8.,故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使得对任意nN*，总有Sn2.即实数的取值范围为(2，).,1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项