第3讲 圆锥曲线中的热点问题

第3讲圆锥曲线中的热点问题,高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.,真题感悟,答案5,(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.,所以点P2在椭圆C上.,(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴.设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，,此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足.从而可设l：ykxm(m1).,由题设可知16(4k2m21)0.,由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.,解得m2k1，此时32(m1)，当且仅当m1时，0，直线l的方程为ykx2k1，即y1k(x2).所以l过定点(2，1).,(1)求C的方程，并说明C是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值.,所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点.(2)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0).,1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.,考点整合,2.圆锥曲线中定点、定值问题,(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.,3.圆锥曲线中存在性问题的解题步骤：,(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.,(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2y21相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由.,当m0时，显然不合题意.当m0时，直线l与圆x2y21相切，,探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.,又a2b2c2，得2b2b21，b21，a22.,热点二圆锥曲线中定值、定点问题角度1圆锥曲线中的定值,【例21】(2018北京卷)已知抛物线C：y22px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；,(1)解因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0).,依题意(2k4)24k210，解得k1，又因为k0，故k0或00，,探究提高1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.,【训练4】(2019益阳模拟)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点M(2，m)(m0)在抛物线上，且|MF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P(x0，y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，过点F作切线l0的垂线，垂足为Q，则点Q是否在定直线上，若是，求定直线的方程；若不是，说明理由.,又M(2，m)在抛物线上，所以2pm4，由，解得p2，m1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)当x00，即点P为原点时，易知点Q在直线y0上；当x00，即点P不在原点时，,所以(*)可化为yyy0，即(y01)y0，由y00，可知y0，即垂足Q必在x轴上.所以点Q必在直线y0上，综上所述，点Q必在定直线y0上.,1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：,(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.,2.圆锥曲线的范围问题的常见求法,(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这