直角三角形的射影定理教案

第一讲 相似三角形的判定及有关性质3.4 直角三角形的射影定理备课组：高二数学组 主备人：柴海斌 持案人： 授课班级： 授课时间： 教学目标 知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.方法与过程： 通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。 教学重难点重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；难点：直角三角形的射影定理的证明。 教学过程二、教学引入 什么是射影？点和线段的正射影简称为射影（让学生复习并挖掘下图中的基本性质.）已知：如图，ACB=90，CDAB于D.(1)图中有几条线段?(答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)(2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ACDCBDABC，可分别写出三组比例式： (ACDCDB); (CBDABC); (ACDABC).(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?只有三个比例中项的表达式，(5)由上可得到哪些等积式?CD2=ADBD，BC2=BDBA，AC2=ADAB（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。请同学们自己写出已知条件并证明。已知：在RTABC中，ABC=90。 ，CDAB于D。求证：CD2=AD*BD BC2=BD*AB AC2=AD*AB证明：在RTABC中，因为ABC=90。 CDABB+DCB=90 , ACD+DCB=90所以B=ACD，故 CBDACD所以 在RTACB与RTBDC中，为公共角，同理，由，讨论：用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.证明：二、当堂训练1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。求 解：是半圆上的圆周角，,即ABC是直角三角形。又射影定理可得 2、如图，ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且。求证：ABC是直角三角形。证明： 在CDA和BDC中，三、课堂小结与反思四、课后检测1如图141中，ACB=90，CDAB于D，AD=3，BD=2，则AC：BC的值是(C )A3：2 B9：4 C： D：2在RtACB中，C=90，CDAB于D，若BD：AD=1：4，则tanBCD的值是(C ) A. B. C. D. 23下列命题中，正确的有(B ) 两个直角三角形是相似三角形； 等边三角形都是相似三角形； 锐角三角形都是相似三角形； 两个等腰直角三角形是相似三角形 A1个 B. 2个 C. 3个 D4个4已知直角ABC中，斜边AB=5cm，BC=2 cm，D为AC上一点，DEAB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=( C )A1.24 cm B1.26 cmC1.28cm D1.3 cm5如图142，在ABC中，BAC=90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E。试说明：图142(1)ABAC=ADBC；(2)AD3=BCBECF。解：(1)在RtABC中，ADBC，SABC=ABAC=BCADABAC=BCAD。(2)在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2=BEAB同理CD2=CFAC，BD2CD2=BEABCFAC *又在RtBAC中，ADBCAD2=BDDC， *式化为AD4=BECFABAC，即AD3=BECFABAC由(1)知ABAC=BCAD，代入上式得AD3=BECFBC 应用射影定理证明比例线段6如图143，已知：BD、CE是ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且H=BCF。求证：GD2=GFGH。证明：H=BCE，B=B，CEBH，BCEBHGBGH=BEC=90，HGBCBDAC，在RtBCD中，由射影定理得，GD2=BGCG GFC=EFH，FCGFHE，FGC=FEH，FGC=BGHFCGBHG，BGGC=GHFG 由得，GD2=GHFG7如图144，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求证：AEAB=AFAC。证明：ADBC，BAD+B=90又DEAB，BAD+EDA=90B=EDA，又BAD=DAE，ABDADE(两角相等的两个三角形相似)，即AD2=ABAE 同理可证：AD2=AFAC，AEAB=AFAC综合拓展练综合运用，拓展知能8在RtABC中，BAC=90，ADBC于点D，若，则( C ) A. B. C. D. 9如图145，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道( B )条线段的长，就可以求其他线段的长。A1 B2 C3 D410如图146，在梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，垂足为E，ABC=45，过E作AD的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交AB于H。求证：FG2=AFDF+BGCG+AHBH。证明：因为EF2=AFFD，EG2=BGCG，所以FG2=(EF+EG)2=EF2+2EFEG+EG2=AFFD+BGCG+2EFEG因为ABC=45，所以2(EF+EG)2=(AH+BH)2而EF=AHsin45AH， EG=BHsin45=BH2EF2=AH2，2EG2=BH2所以2EFEG=AHBH所以FG2=AFFD+BGCG+AHBH11ABC中，若角A、B、C所对的边分别为a、b、c，试用余弦定理证明以下射影公式。(1)c=acosB+bcosA；(2)a=bcosC+ccosB；(3)b=ccosA+acosC。证明：（1）由余弦定理得同理可证： a=bcosC+ccosB；b=ccosA+acosC高考模拟练体验高考，模拟实战12在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AD：BD=2：3，则ACD与CBD的相似比为( )A2：3 B4：9 C：3 D不确定13RtABC中，ACBC，CDAB于点D，AD=4，sinACD=，则BC=_，CD=_。答案解析C解析：如图D123，在RtACB中，CDAB由射影定理