高中数学教案：直线与圆

直线与圆一、知识网络 二、高考考点1.直线的倾斜与斜率；2.直线的方程及其应用；3.两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式；4.简单的线性规划问题；5.圆的方程及其应用；6.直线与圆的相切与相交问题；7.两圆的位置关系；8.直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题.三、知识要点（一）直线1、直线的倾斜角定义与规定（1）定义：对于一条与x轴相交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作 .（2）规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角 的取值范围是0，180）或0，）.提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.（3）直线的斜率与方向向量（）定义1：当直线l的倾斜角 不是90时， 的正切叫做直线l的斜率，直线的斜率通常用k表示即： 特例：当直线的倾斜角为90时，直线的斜率不存在.认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系： ； ； ； （直线的斜率不存在）（）斜率公式已知直线l上两点 ，则直线l的斜率： .（）定义2：直线l上的向量 与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.设 ，则直线l的方向向量 的坐标是 ；当直线l不与x轴垂直时， ，此时，直线l的方向向量可化为 （这里k为直线l的斜率）.2、直线的方程（1） 理论基础：直线的方程与方程的直线之定义在直角坐标系中，如果直线l和二元方程 的实数解之间建立了如下关系： 直线l上的点的坐标都是方程 的解（纯粹性）以方程 的解为坐标的点都在直线l上（完备性）那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.（2）直线方程的几种形式（）点斜式：已知直线l的斜率为k，且过点 ，则直线l的方程为： （）斜截式已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则直线l的方程为： 注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例.直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x轴垂直的直线的方程.因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。（）两点式已知直线l经过两点 ，则直线l的方程为： .（）截距式已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为 ，则直线l的方程为： 注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线.运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线.（）一般式方程 叫做直线方程的一般式直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x,y的一次方程，反之，任何关于x,y的一次方程都表示一条直线.这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一.3、两条直线的位置关系（1）两条直线平行的条件设l1、l2 为两条不重合的直线，则（） 的斜率相等或它们的斜率都不存在.因此，已知l1/l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论.（）若设直线 ，则 （此式包含了一般与特殊两种情形）（）平行于直线 的直线（系）方程为： （2）两条直线垂直的条件对于两条直线l1和l2（） 的斜率之积等于1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在（）若设直线l1： , ,则 ，（此式包含了一般与特殊两种情况）（）垂直于直线 的直线（系）方程为： （3）直线l1 到l2的角；直线l1 与l2的夹角设l1 与l2相交（）直线l1 到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作 l1 到l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1 /l2时不定义l1 到l2的角，故 的取值范围为（0， ）设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 到l2的角为 ，则当 ；当 （注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）（）直线l1 与l2的夹角，是指l1 与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为 .l1 与l2的夹角没有方向性，注意到当l1 /l2时不定义l1 与l2夹角的概念，故得 的取值范围为： 设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 与l2的夹角为 ，则当 ；当 .（4）点到直线的距离设点 ，直线 则点P到直线l距离： 讨论（两平行直线间的距离）：设两条平行直线 ，则l1 与l2之间的距离为 .（5）两条直线的交点（1）直线 （2）经过直线l1 与l2的交点的直线（系）方程为 （这里不含l2）(二)圆的方程1、定义与方程（1）定义（2）方程（）标准方程： 圆心为（a、b），半径为 （）一般方程： 圆心为 ，半径为 （III）参数方程： 圆心为(a，b)，r为半径长2、性质与应用（1）圆的基本性质（）关于弦的性质圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）；两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线；若设圆半径为r，弦心距d ，弦长为2l，则有 （）关于切线的性质切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径.（2）圆的性质的应用解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快.关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：（）巧设圆心坐标若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.（）巧设圆的方程一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果.3、直线与圆设直线 ，圆 ，则直线与圆的位置关系有两种判别方法：（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）：设圆心C到直线l的距离为d，则 直线l与圆C相交； 直线l与圆C相切； 直线l与圆C相离.（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：将上述曲线方程与圆方程联立，消去x(或y)所得一元二次方程的判别式为 ，则 直线与圆C相交； 直线与圆C相切； 直线与圆C相离.4、挖掘与引申（1）两圆的公共弦所在直线的方程设与 相交于A、B两点，则由-得两圆公共弦AB所在直线的方程为： （2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程对于圆 （）当点 在圆上时，以M为切点的切线方程为 ；（）当点 在圆外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为 .引申：当点 在圆 外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为 .四、经典例题例1求经过点A（5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.分析：由题意知直线l与两坐标轴都相交，因为不存在直线l垂直于x轴的情形.但是，注意到直线l的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论.解：由题意知直线l与两坐标轴都相交.（1） 当直线l在两轴上的截距均不为零时，设直线l的方程为： ，即 a=3. 此时直线l的方程为： .（2）当直线l在两轴上的截距为零，即直线l过原点时，直线l的方程为： 综合（1），（2）得所求直线l的方程为 或 .点评：运用直线的某一种特殊形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件.因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜.在这里，直线的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线.因此，要对这些特殊直线单独考察.例2直线l被两平行直线 所截线段AB的中点M在直线 上，且l到l2的角为45，求直线l的方程.分析：由已知条件易得直线l的斜率.欲求点M坐标，先考察点M的位置特征，注意到 ，点M为线段AB的中点，故点M在与 、 等距离的另一直线 上.因此，为避免复杂运算，可先求 的方程.解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M在与l1 ，l2等距的直线l3上，注意到l1 ，l2的纵截距分别为 ，故l3的纵截距为l，由斜截式得l3的方程为 将与 联立解得设直线l的斜率为k，则又由已知得 ，解得 于是由得所求直线l的方程为 点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算.请在下面的例题中注意上述技巧的刻意运用.例3已知点A（1，-1）和直线 ，过点A作直线l2 与l1交于点B，使 ，求直线l2的方程.分析：欲求 的斜率k，如直面求直线 、 联立的方程组，再利用两点间的距离公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求 与 的夹角 的三角函数值.为此，利用已知条件率先构造含有 的Rt.解（对交点坐标不设不解）：过点A作 又 为直线l1 与l2的夹角由 （1）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的斜率为k，则由两直线的夹角公式得 此时，直线l的方程为 （2）当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为 ，此时易得B（1，4）， 符合已知条件.综合（1）（2）得所求直线l2的方程为 .点评：借助平面图形的特征,人为地构造与求解 ,进而转化为运用夹角公式求解目标直线的斜率,刻意避免了求解直线l1 与l2的交点坐标.这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一.例4在 中，A（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为 的平分线所在直线方程为 ，求BC边所在直线方程.分析：如何利用 的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，所用l1 与l2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化.我们这里选择第二条途径.解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B（4t-10,t）则AB边中点 ，点D在直线 上， 点B（10，5）又注意到AB与BC边所在直线关于 的平分线所在直线 对称，故点A（3，-1）关于直线 对称点A（m,n）一定在直线BC上由点A、A关于直线 对称得 A（1，7）于是由得直线AB即直线BC的方程为 点评：本题解题特色，一是利用已知直线方程巧设点B和点D坐标；二是利用平分线性质转化为点的对称问题.此为解决这类直线问题的基本策略.例5已知过点A（1，1）且斜率为 的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q分别作直线 的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值.分析：这里的四边形PRSQ为直角梯形且PR/SQ，故梯形的高RS为平行线QS与PR间的距离，从设直线l的方程切入.解：设直线l的方程为 在中令 Q（0,m+1）在中令 将P、Q两点到直线 的距离分别记为 ,则 又直线QS方程为 ，直线PR方程为 ，直线PR与QS间的距离 即 由得： （当且仅当 时等号成立）于是可知，四边形PRSQ的面积的最小值为 （当且仅当 时取得）点评：从设直线l的方程切入，点P、Q坐标以及点P、Q到l的距离依次登场，循序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS，四边形面积的表达式便呼之欲出了.解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界.例6设圆上的点A（2，3）关于直线 的对称点仍在此圆上，且该圆与直线 相交的弦长为 ，求圆的方程.分析：圆上的点A关于直线 的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A关于直线 的对称点仍在圆上知，圆心在直线 上可设圆的圆心坐标为（2t，-t），圆的方程为则由题设条件得：由解得所求圆方程为 点评：要善于认知题设的真面目：点A关于直线 的对称点 在此圆上 弦 的垂直平分线为 直线 过圆心例7一个圆与直线 相切于点P（4，-1），且圆心在直线 上，求圆的方程。分析：求圆的方程，当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程.解（巧设圆心坐标）：圆心在直线 上设圆心C的坐标为（3t,5t）又 ， 由此得 解之得 .圆心C（3，5），半径 . 所求圆的方程为 点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质.上述解答便是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径.例8已知圆C与圆 相交，所得公共弦平行于已知直线 ，又圆C经过点A（-2，3），B（1，4），求圆C的方程。分析：题设条件中出现两圆的公共弦.对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同，随之的解法也会不同.解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C方程为 ，则圆C与已知圆的公共弦所在直线方程为 由题设得： 又点A、B在圆C上，故有：所求圆C的方程为 ： 解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C的弦AB的中点坐标为 ，圆C的弦AB的垂直平分线方程为 又已知圆圆心为 两圆连心线所在直线的方程为 设圆心C（a,b），则由、得解之得 再注意到圆C的半径 所求圆C的方程为 点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些.例9已知圆M的方程为 ，点Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B，试求弦AB的中点P的轨迹方程.分析：本题出现“切点弦”.鉴于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程.解： 由已知得M（0，2），圆M方程为设Q（t,0），则由得切点弦AB所在直线方程为 又设P（x,y），则由 得 将代入得讨论：当t=0时有x=0，代入得 满足式，故点 也是所求轨迹上的点.综上可知，所求弦AB的中点P的轨迹方程为： .说明：这里的切点弦AB所在直线的方程是需要推导或证明的.本题略去的推导或证明过程，请大家练习.例10已知直线 与 相交于A、B两点（1）当 时，求C的方程；（2）当 时，求C的方程（O为原点）解：（1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解”注意到C的方程为 弦心距 由 得 所求C方程为： 或 （2）对交点A、B坐标“既设又解”设 、 ，将直线方程与C方程联立得 ： 消去x得 由题意知： 为方程的两个不等实根 由韦达定理得： 又由 由、得： 解得：a=3（满足式） 所求C方程为 点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解.例10的改作：（1）已知C： 与直线 相交于A、B两点，且 （O为原点），求m的值.（2）已知C的圆心坐标为 ，C与已知直线 相交于A、B两点，且 （O为坐标原点），求C方程（3）已知过点（3，0）的直线l与C： 相交于A、B两点且 （O为坐标原点），求直线l的方程.五、高考真题（一）选择题1.“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（ ）A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件2.设直线 的倾斜角为 ，且 ，则a,b满足（ ）A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=03.设直线的方程是 ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（ ）A. 20 B. 19 C. 18 D. 164.将直线 沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆 相切，则实数 的值为（ ）A. 3或7 B. 2或8 C. 0或10 D. 1或115.已知直线l过点（2，0），当直线l与圆 有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6.从原点向圆 作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ ）A. B. C. D. 7.已知点P（x,y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 的取值范围是（ ）A. -2，-1 B. -2，1 C. -1，2 D. 1，28.已知圆C与圆 关于直线 对称，则圆C的方程为（ ）A. B. C. D. （二）填空题1.直线 关于直线x=1对称的直线方程是 .2.设直线 和圆 相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程为 .3.若经过点P（-1，0）的直线与圆 相切，则此直线在y轴上的截距是 .4.若 ，则xy的最大值是 .5.已知直线 与圆 相交于A、B两点，且 ，则 .6.由动点P向圆 引两条切线PA、PB，切点分别为A、B， ，则动点P的轨迹方程为 .7.非负实数x,y满足 ，则 的最大值为 .8.设x,y满足约束条件 ，则使目标函数 的值最大的点（x,y）是 .9.设实数x,y满足 ，则 的最大值为 .（三）解答题1.如图，直线 与直线 之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2. （1）分别用不等式组表示W1和W2； （2）若区域W中的动点P（x,y）到 的距离之积为 ，求点P的轨迹C的方程； （3）设不过原点O的直线l与（2）中曲线C相交于 两点，且与 分别交于 两点，求证： 的重心与 的重心重合.2.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（2）求折叠的长的最大值. 3.如图，直线 与 相交于点P，直线 与x轴交于点 ，过点 作x轴的垂线交 于点 ，过点 作y轴的垂线交直线 于点 ，过点 作x轴的垂线交 于 ，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，点的横坐标构成数列 . （1）证明： ；（2）求系数 的通项公式；（3）比较 与 +5的大小.分析与解答（一）选择题1.选B.分析：当 时，两直线为 和 ，显然垂直，条件具充分性；当两直线互相垂直时，由 得： 或 ，条件不具必要性.故应选B.2.选D.分析：由 为倾斜为得 又由 得 ， ，即a=b，故应选D.3.选C.分析：注意到A、B的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为 中A、B的值有 种解法，但其中有“A=1，B=2”与“A=2，B=4”表示同一直线，“A=2，B=1”与“A=4，B=2”表示同一条直线，所以不同直线的条数为 ，应选C.4.选A.分析：把直线 即 向左平移1个单位得直线 .解法一：若注意到圆与y轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y轴的相交弦为x=0 ，当 时，直线 都和圆与y轴的相交弦相交，从而否定B，C，D，应选A.解法二：将 代入圆方程得 ，当 得 解得 或 ，从而应选A.5.选C.分析：将直线 代入得 ，故选C.6.选B.分析：已知圆 的圆心C（0，6），设两切点为A、B，则在 中， ，则 ，应选B.7.选C.分析：首先由不等式确定可行域，而后研究目标函数 （即 ）. 结合图形易知：当直线 ，过点A（0，1）时， ；当直线 ，过点B（2，0）时， ，故应选C.8.选C.分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线 的对称点为（0，-1），由此否定A，B，D，应选C.（二）填空题1.分析：从点的对称切入，当直线 上的点（0，0）关于 的对称点为A（2，0），直线 上的点（2，1）关于 的对称点为B（0，1），则 ，从而直线AB的方程为 ，故所求对称直线方程为 2.分析：已知圆圆心（1，0）， ， 弦AB的垂直平分线的斜率为 ， 弦AB的垂直平分线的方程为 ，故所求直线方程为： 3. 分析：已知圆方程为： ，经过点P（-1，0）且与圆相切的直线的斜率存在，设这一切线的方程为 ，则 ，由此解题k=1， 上述切线的方程为 y=x+1，其在y轴上的截距是1，故应填1.4.分析：根据已知设 ，则 （ 为辅助） x-y的最大值为 5.分析：由题设在 中， ， ， 应填 6.分析：由题设得 ， 又 ， ， 动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆. 动点P的轨迹方程为 点评：首先认知动点P的运动轨迹，而后据此导出动点P的轨迹方程，此为求动点轨迹方程的又一途径。7.分析：由不等式组解得可行域.可行域边界上各交点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（0，3），C（1，2），当 ，则比较u在各交点处的函数值得 点评：在x,y不受其它限制的情况下，目标函数 的最值一定是在可行域边界上的“交点”处取得.因此，相关问题均可仿7解决.8.分析：由不等式作出可行域，求出可行域边界上的各个“交点”的坐标，则仿7可得答案是点（2，3）. 9.分析：由不等式组作出可行域，则可行域为 所包围的平面区域（包含边界）， ，注意到 表示区域内任一点P与原点的连线的斜率，又 ， （三）解答题1.分析：对于（1）从题设中的直线方程切入；对于（3），则可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明.为此，寻找三顶点同名坐标的和之间的联系.解：（1）由题设得： ， .（2）直线 ，直线 .由题意得： ，即： 点 由，得： 整理得 所求动点P的轨迹C的方程为： （3）证明：（）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为 ， 直线l，曲线C关于x轴对称并且 与 关于x轴对称. 的中点坐标均为（a，0）， 的重心坐标均为 ，即它们的重心重合.（）当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：代入得： 由题意知这里： 且 设 ，则由韦达定理得： 又设 则由 得 ，由 得 ， ， 于是可得： ， 即 的重心与 的重心重合.点评：（1）这里区域 .（2）根据三角形重心坐标公式，要证明上述两个三角形的重心重合，只要证三顶点的同名坐标的算术平均数分别相等.于是，计算、推理的方向便更加明确了.2.分析：（1）由题设，知折痕上点的坐标特征，故求折痕所在直线的方程时考虑运用待定参数法；（2）利用（1）的结果，先求折痕之长的函数表达式，归结为函数的最值问题.解：（1）设折叠后A在DC边上的对应点为 ，并设折痕EF所在直线的方程为 （）当k=0时， 与D重合