高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.1数系的扩充与复数的引入重疑难点易错简析素材北师大版选修1_2_第1页
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数系的扩充与复数的概念重疑难点易错简析一、知识导学1. 复数：形如的数（），复数通常用小写字母表示，即,其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，称做虚数单位.2. 分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.6. 复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)；(2)=；(3)；7共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数.二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2则，而，则不一定成立，如时；3，而则不一定成立；4若不一定能推出；5若，则=，但若则上式不一定成立.三、经典例题导讲例1两个共轭复数的差是（ ）.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数错解:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共轭的两复数分别为及则 或当时，为纯虚数当时，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质.例2判断下列命题是否正确(1)若, 则(2)若且，则(3)若，则错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解：(1)错，反例设则(2)错，反例设，满足，但不能比较大小.(3)错，故，都是虚数，不能比较大小.例3实数分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数.解：实部，虚部.（1）当 时，是实数；（2）当 ，且 时，是虚数；（3） 当 或 时是纯虚数例4 设，当取何值时，(1) ; (2).分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值解：(1)由可得：解之得，即：当 时(2)当 可得： 或 ，即 时.例5是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数分析 本题起步的关键在于对条件的处理等式左边是关于的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由（，不为零），得即向量与向量的夹角为，在图中，又，设，在OPQ中，由余弦定理OPQ为直角三角形，四、典型习题导练1. 设复数z满足关系，那么z等于（ ）A B C D2.复数系方程有实数根，则这个实数是.3.实数m取何值时，复数是(1)纯虚数
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