高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例全方位聚焦正余弦定理的应用素材北师大版必修52

全方位聚焦正余弦定理的应用正、余弦定理是研究三角形的边和角之间的关系，是解决三角形问题的有力工具和重要手段，下面将对正余弦定理的应用进行全方位扫描. 一、合理选用定理解三角形：求解三角形是典型问题，问题涉及三角形的若干几何量，解题时要注意边与角的互化.一般地，已知三角形的三个独立条件（不含已知三个角的情况），应用两定理，可以解三角形，具体可以解决的类型如下：余弦定理正弦定理已知三边（唯一解）已知两边一夹角（唯一解）已知两角一边（唯一解）已知两边一对角（不唯一） 例1在三角形ABC中，已知，解此三角形.分析：本题是一类已知两边一对角的解三角形问题，可用正弦定理，也可用余弦定理.解法一：利用正弦定理，得，则.由于，根据大边对大角，得或.当时，得，；当时，得，.解法二：利用余弦定理，得，整理得，得.当时，所以，则；当时，所以，则.点评：已知三角形的两边一对角这一类型，是同学们在学习过程中感到最困难的一种类型，这种类型的题，正弦和余弦定理都可以解决.（1）用正弦定理解，往往通过大边对大角这个性质，来判断解的个数；（2）用余弦定理解，一般转化为关于某条边的一元二次方程，利用或根的正负性来判断解的个数.二 判断三角形的形状解此类问题时，往往利用正弦或余弦定理转化到边或角，再通过边来判断或角来判断此三角形的形状.例2在ABC中已知acosB=bcosA,试判断ABC的形状.分析：利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.解1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosA， sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0， 则A-B=0，A=B，即ABC为等腰三角形。解2：由余弦定理: ， 即ABC为等腰三角形.点评：法一将已知条件全部转化成角的关系，法二则将已知条件全部转化成边的关系，这样更有利于寻求到角与角或边与边存在的内在联系，这种方法在解其它有关三角形的问题中也是常用的，不同的思维有助于学生建立属于自己的良好的认知结构三 解决与面积有关的问题例3在中，若，求的面积.解析：由已知得，得由余弦定理得，又因此，从而因此，的面积点评：本题有一定的难度，首先要用和角的正切公式产生的值，进一步产生角；其次要灵活运用条件及余弦定理产生，然后再求三角形的面积，可以说是一道小型综合题，不能全面把握基础知识是难以完成求解的.四、求值例4 在中，求的值解一：原式解二：原式点评：本题是一个“纸老虎”，看模样，有点吓人，但真正动手求解，也很顺利，正弦定理与余弦定理均可达到目的.五、证明恒等式例5 在中，求证：证明：右边左边，故等式成立点评：本题特点很突出，左边是边的式子、右边是角的式子，要完成这二者的统一（即都是边的式子或都是角的式子）可以用正弦定理，也可以用余弦定理或两个定理联合使用.这里的求解是两个定理联合使用.六、求解平面几何问题例6 已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积.解：连结，则，由，得那么由于，又得，因此故四边形的面积为.点评：平几中涉及长度与面积问题往往需要用正弦或余弦定理进行求解.由于平