初二几何中常用辅助线的添加

.一.教学内容：寒假专题初二几何中常用辅助线的添加【典型例题】（一）添加辅助线构造全等三角形例1.已知：ABCD，ADBC。求证：ABCD分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。在本题中，我们可通过连结AC，构造全等三角形来证明线段相等。证明：连结ACABCD，ADBC13，24在ABC和CDA中ABCCDA（ASA）ABCD（二）截长补短法引辅助线当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例2.如图，ABC中，ACB2B，12。求证：ABACCD证法一：（补短法）延长AC至点F，使得AFAB在ABD和AFD中ABDAFD（SAS）BFACB2BACB2F而ACBFFDCFFDCCDCF而AFACCFAFACCDABACCD证法二：（截长法）在AB上截取AEAC，连结DE在AED和ACD中AEDACD（SAS）例3.如图，在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD交BD的延长线于E，证明：BD2CE。分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证BEFBEC，得，再证ABDACF，得BDCF。证明：分别延长BA、CE交于点FBECFBEFBEC90在BEF和BEC中BEFBEC（ASA）BAC90，BECFBACCAF90，1BDA90，1BFC90BDABFC在ABD和ACF中ABDACF（AAS）BDCFBD2CE（三）加倍法和折半法证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。例4.已知：如图，AD是ABC的中线，AE是ABD的中线，ABDC，BADBDA。求证：AC2AE分析：欲证AC2AE，只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是ABD的中线，故考虑延长AE至F，使EFAE，证AFAC。（此种方法我们又称为中线倍长法）只要证ABFADC，观察图形发现，可以证明ADEFBE，则可得出BFAD，尚需条件ADCFBA，而这可由外角的性质推出。证明：延长AE至F，使EFAE，连结BFAE是ABD的中线BEED在BEF和DEA中BEFDEAEBFBDA，BFDABADBDAEBFBAD在ADC和FBA中ADCFBAACAF又AF2AEAC2AE（四）利用角平分线的性质来添加辅助线有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。例5.已知：ABC的B、C的外角平分线交于点P。求证：AP平分BAC证明：过P点作PDAC于D点，PFAB于F点，PEBC于E点PC，BP为ABC的B、C的外角平分线 PDAC，PEBCPDPE（角平分线性质）同理：PFPEPDPF（等量代换）AP平分BAC（角平分线性质逆定理）例6.已知：如图，12，P为BN上一点，且PDBC于D，ABBC2BD。求证：BAPBCP180分析：要证BAPBCP180，而由图可知BAPEAP180，故只要证EAPBCP即可。由12，PDBC，想到过P点向BA作垂线PE，有PEPD，BEBD，又由，得AECD，故APECPD，从而有EAPBCP，问题得证。证明：过点P作PEBA于EPDBC，12PEPD（角平分线的性质）在RtBPE和RtBPD中RtBPERtBPD（HL）BEBDPEBPDC90在PEA和PDC中PEAPDCPCBEAPBAPEAP180BAPBCP180【模拟试题】（答题时间：40分钟） 1.已知，如图，ABAE，BCED，垂足为F，求证：CFDF 2.在四边形ABCD中，BCBA，ADDC，BD平分，求证： 3.已知AD是ABC的中线，E在BC的延长线上，CEAB，求证：AE2AD 4