高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.2导数的运算法则课件新人教A版选修2_2.ppt

第2课时导数的运算法则,主题1导数的运算法则利用导数的定义分别求y=5+x，y=5x,y=的导数.,提示：(1)=1，=1.故y=5+x的导数为1.(2)=5，=5.故y=5x的导数为5.,(3)，.故y=的导数为.,结论：导数的运算法则1.函数和差的导数，f(x)g(x)=_.2.函数积的导数，f(x)g(x)=_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),3.函数商的导数，_(g(x)0).推论：常数与函数的积的导数，cf(x)=_.,cf(x),【微思考】1.导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？提示：成立.有时可先化简再求导.,2.在导数的运算法则中，f(x),g(x)是否能是常数函数？提示：可以.例如，若y=f(x)c，则y=f(x);若y=af(x)，则y=af(x);(f(x)0).,主题2复合函数的导数1.y=ln(x+2)的结构特征是什么？提示：令u=x+2，则y=lnu.因此y=ln(x+2)可看成是由u=x+2和y=lnu复合而成的.,2.如何求y=ln(x+2)的导数？提示：由y=ln(x+2)的结构特征，可考虑由外向内求导数.令u=x+2,则y=lnu，因此yx=yuux=(lnu)(x+2)=.,结论：1.复合函数对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果_，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).,通过变量u，y可以表示成x的函数,2.求导法则复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u)和u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,【微思考】求解复合函数的导数时，关键点是什么？提示：理清层次，逐层使用求导法则求解.,【预习自测】1.下列求导运算正确的是()A.()1B.(log2x)C.(3x)3xlog3eD.(x2cosx)2sinx,【解析】选B.()；(3x)3xln3；(x2cosx)(x2)cosxx2(cosx)2xcosxx2sinx.,2.当函数y=(a0)在x=x0处的导数为0时，那么x0等于()AaBaC-aDa2,【解析】选B.y=,由x20-a2=0得x0=a.,3.f(x)=lncos2x的导数是()A.B.C.D.,【解析】选D.因为f(x)=lncos2x,所以f(x)=.,4.函数y的导数是()A.B.C.D.,【解析】选C.=.,5.函数f(x)的导数为_.【解析】f(x).答案：,类型一利用运算法则求函数的导数【典例1】(1)(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_.,(2)求下列函数的导数：y=x3+log2x;y=(x-2)2(3x+1)2;y=2xlnx;y=.,【解题指南】(1)求出f(x)，代入x=0即可.(2)分析各个函数解析式的特点，应用和、差、积、商的导数法则求导.,【解析】(1)因为f(x)=(2x+3)ex，所以f(0)=3.答案：3,(2)因为y=x3+log2x，所以y=.因为y=(x-2)2(3x+1)2=(3x2-5x-2)2，所以y=36x3-90 x2+26x+20.,因为y=2xlnx,所以y=.因为y=，所以y=.,【方法总结】利用导数的公式及运算法则求导思路,【拓展】以y=f(x)g(x)h(x)为例，讨论连续多个函数的积如何求导？,提示：(1)利用整体思想，化为两个函数的积求导，即：y=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)，从而y=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x).(2)展开化简y=f(x)g(x)h(x)，转化为多项式，利用和、差的导数法则求导.,【补偿训练】求下列函数的导数：(1)y=.(2)y=.,【解析】(1)y=.,(2)y=.,【巩固训练】求下列函数的导数：(1)y=cosx.(2)y=x-sincos.,【解析】(1)y=.,(2)因为y=，所以y=.,类型二求复合函数的导数【典例2】(1)已知函数f(x)=,求其导数.(2)设函数f(x)cos(x)(0)，且f(x)f(x)为奇函数.求的值；求f(x)f(x)的最值.,【解题指南】(1)f(x)=是y=eu与u=-ax2+bx的复合.(2)先求出函数f(x)cos(x)(0)的导数，再利用f(x)f(x)为奇函数求的值，进而求出f(x)f(x)的最值.,【解析】(1)令u=-ax2+bx,则y=eu.yx=yuux=eu(-ax2+bx)=eu(-2ax+b)=(-2ax+b).,(2)f(x)f(x)cos(x)sin(x)(x)cos(x)sin(x)2sin(x+).因为0，f(x)f(x)是奇函数，所以.,由知f(x)f(x)2sin(x)2sinx，故f(x)f(x)的最大值是2，最小值是2.,【方法总结】求复合函数的导数的步骤(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系.(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导).(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数.即：分解求导回代.,【巩固训练】求下列函数的导数：(1)y.(2)y.(3)y.(4)y5log2(2x1).,【解析】(1)设y，u12x2，则y()(12x2)()(4x).,(2)设yeu，usinv，vaxb，则yxyuuvvxeucosvaacos(axb).,(3)设yu2，usinv，v2x，则yxyuuvvx2ucosv24sinvcosv2sin2v.(4)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)(2x1).,【补偿训练】指出下列函数的复合关系：(1)ysinx3.(2)y.(3)y.,【解析】函数的复合关系分别是(1)ysinu，ux3.(2)ycosu，u.(3)y，u2cosv，v3x.,类型三求导法则的综合应用【典例3】(1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)=e-x-1-x，则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是_.,(2)已知曲线y=.求：曲线在点P(2，4)处的切线方程.曲线上与直线4x-y-3=0平行的切线方程.,【解题指南】(1)先求出f(x)当x0时的解析式,然后再求切线.(2)先求出y=的导数，再利用导数的几何意义求出在点P(2，4)处的切线方程和与直线4x-y-3=0平行的切线方程.,【解析】(1)设x0,则-x0),设两曲线f(x),g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.(1)若a=1，求b的值.(2)试写出b关于a的函数关系式.,【解题指南】先设公共点的坐标，利用切点处的导数相等建立关系式.,【解析】(1)设f(x)，g(x)的公共点为(x0，y0)，因为y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同，且f(x)=x+2，g(x)=，,所以f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0)，所以由x0+2=，得x0=1或x0=-3(舍去)，即有b=.,(2)设f(x)，g(x)的公共点为(x0，y0)，因为y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同，且f(x)=x+2a,g(x)=，,所以f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0)，即解得x0=a或x0=-3a(舍去)，所以b=(a0).,【方法总结】