高二数学函数的奇偶性苏教版知识精讲

高二数学函数的奇偶性高二数学函数的奇偶性苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的奇偶性 二、教学目标： 了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性 的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题 三、知识要点： （一）主要知识： 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 函数的奇偶性的定义； 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 奇偶函数的性质： （1）定义域关于原点对称； （2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；y 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 为偶函数 ( )f x( )(|)f xfx 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若奇函数 的定义域包含，则( )f x0(0)0f （二）主要方法： 1. 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑与的关系。 xfxf 2. 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 3. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，( )()0f xfx ( ) 1 () f x fx 4. 设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，( )f x( )g x 12 ,D D 奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇 5. 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点； 【典型例题典型例题】 例 1. 下面四个结论：偶函数的图象一定与 y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点； 偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f（x）0（xR） ， 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定相交，因此正确，错误奇函数的 图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确 若 yf（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得 f（x）0，但不一定 xR， 说明：说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 例 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 判断下列各函数的奇偶性： （1）； 1 ( )(1) 1 x f xx x （2）； 2 2 lg(1) ( ) |2| 2 x f x x （3） 2 2 (0) ( ) (0) xxx f x xxx 解：解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函 1 0 1 x x 1,1)( )f x 数 （2）由得定义域为， 2 2 10 |2| 20 x x ( 1,0)(0,1) ， 2 2 lg(1) ( ) (2)2 x f x x 2 2 lg(1)x x 为偶函数 22 22 lg1 () lg(1) () () xx fx xx ( )f x( )f x （3）当时，则，0 x 0 x 22 ()()()( )fxxxxxf x 当时，则，0 x 0 x 22 ()()()( )fxxxxxf x 综上所述，对任意的，都有，为奇函数 |0xx x()( )fxf x ( )f x 例 3 已知函数对一切，都有，( )f x, x yR()( )( )f xyf xf y （1）求证：是奇函数；（2）若，用表示( )f x( 3)faa(12)f 解：解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头在 中，( )f xR()( )( )f xyf xf y 令，得，令，得，yx (0)( )()ff xfx0 xy(0)(0)(0)fff ，即， 是奇函数(0)0f( )()0f xfx()( )fxf x ( )f x （2）由，及是奇函数，( 3)fa()( )( )f xyf xf y( )f x 得(12)2 (6)4 (3)4 ( 3)4ffffa 例 4. （1）已知是上的奇函数，且当时，则( )f xR(0,)x 3 ( )(1)f xxx 的解析式为( )f x 3 3 (1),0 ( ) (1),0 xxx f x xxx （2）已知是偶函数，当时，为增函数，若，( )f xxR0 x ( )f x 12 0,0 xx 且，则 （ ） 12 | |xx B . . A 12 ()()fxfxB 12 ()()fxfx . . C 12 ()()f xfxD 12 ()()f xfx 例 5 设为实数，函数，a 2 ( )| 1f xxxaxR （1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值( )f x( )f x 解：解：（1）当时，此时为偶函数；0a 2 ()() | 1( )fxxxf x ( )f x 当时，0a 2 ( )1f aa 2 ()2| 1faaa ()( ),()( ),faf afaf a 此时函数既不是奇函数也不是偶函数( )f x （2）当时，函数，xa 22 13 ( )1() 24 f xxxaxa 若，则函数在上单调递减，函数在上的最小值为 1 2 a ( )f x(, a( )f x(, a ； 2 ( )1f aa 若，函数在上的最小值为，且 1 2 a ( )f x(, a 13 ( ) 24 fa 1 ( )( ) 2 ff a 当时，函数，xa 22 13 ( )1() 24 f xxxaxa 若，则函数在上的最小值为，且； 1 2 a ( )f x ,)a 13 () 24 fa 1 ()( ) 2 ff a 若，则函数在上单调递增，函数在上的最小值 1 2 a ( )f x ,)a ( )f x ,)a 为 2 ( )1f aa 综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的 1 2 a ( )f x 3 4 a 11 22 a( )f x 最小值是， 2 1a 当时，函数的最小值是 1 2 a ( )f x 3 4 a 【模拟试题模拟试题】 1. 构造一个满足下面三个条件的函数实例， 函数在上递减；函数具有奇偶性；函数有最小值为 0； ) 1,( 2 函数 F（x）（12/（2x1） ）f（x） （x0）是偶函数，且 f（x）不恒等于零，则 f（x） （ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 非奇非偶函数 3. 已知函数 f（x）x2lg（x） ，若 fA. M，则 f（a）等于（ ）1 2 x A. 2a2M B. M2a2 C. 2Ma2 D. a22M 4. 若对正常数 m 和任意实数 x，等式成立，则下列说法正确的是 1( ) () 1( ) f x f xm f x （ ） A 函数是周期函数，最小正周期为 2m( )f x B. 函数是奇函数，但不是周期函数( )f x C. 函数是周期函数，最小正周期为 4 m( )f x D. 函数是偶函数，但不是周期函数 ( )f x 5. 已知 f（x） 是奇函数，且当 x（0，1）时，f（x）ln（1/（1x） ） ，那么当 x（1，0）时，f（x） 6. 判断下列函数的奇偶性 ； ； x xy 1 3 xxy2112 ； xxy 4 )0(2 )0(0 )0(2 2 2 xx x xx y 7. 已知，求8)( 32005 x b axxxf10)2(f)2(f 试题答案试题答案 1. Rx,xy 2 2. A 3. A 4. C 5. )x1ln()x(f 6. 解：定义域关于原点对称，且，奇函数), 0() 0 , ()()(xfxf 定义域为不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. 2 1 定义域为 R，关于原点对称，且，xxxxxf 44 )()(xf ，故其不具有奇偶性)()( 44 xxxxxf)(xf 定义域为 R，关于原点对称， 当