高二数学函数的概念与解析式苏教版知识精讲

高二数学函数的概念与解析式高二数学函数的概念与解析式苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的概念与解析式 二. 教学目的： 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在 此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法） 表示函数。 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 三. 教学重点： 函数的概念与解析式 教学难点： 分段函数与实际应用 知识点归纳 1. 函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从 集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x） ，xA，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫 做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做 函数的值域. 2. 两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域B和对应法则f.当函 数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义 域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同 时，这两个函数才是同一个函数. 3. 映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合 A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集 合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB. 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集. 4. 映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一 定都有原象，不一定只有一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。 5. 分段函数：（举一例） 。 6. 复合函数：若 y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么 y=fg(x)称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是 g(x)的值域。 7. 函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的 解析表达式，简称解析式. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 8. 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知求或已知求：换元法、配凑法；( )f x ( )f g x ( )f g x( )f x （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解( )f x( )f x 方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 【典型例题典型例题】 例 1. 设集合，如果从到的映射满足条件： 1,0,1M 2, 1,0,1,2N MNf 对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）MxN( )f xfD A. 8 个B. 12 个C. 16 个D. 18 个 解：解：为奇数，当为奇数、 时，它们在中的象只能为偶数、( )xf xx11N2 或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数02 2 390 x N 或 ，共有种对应方法故映射的个数是故选 D.112f9 218 变式：集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是 _，从B到A的映射个数是_. 解：解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素 3 可有 3 种对应方法（可对应 5 或 6 或 7） ，第二步A中的元素 4 也有这 3 种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数 N1339.反之从B到A，道理相同，有N22228 种不同映射. 答案：答案：9 8 例 2. 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f（x）=，g（x）=； 2 x 33 x （2）f（x）=，g（x）= x x| ; 01 , 01 x x （3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN N*） ； 1212nn x 12 n x （4）f（x）=，g（x）=；x1xxx 2 （5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1. 剖析：剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x） ，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则 都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图 象完全相同，反之亦然. 解：解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相 2 x 33 x 同，所以它们不是同一函数. （2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+） ，而g（x）= x x| 的定义域为 R R，所以它们不是同一函数. ; 01 , 01 x x （3）由于当nN N*时，2n1 为奇数，f（x）=x，g（x）=（） 1212nn x 12 n x 2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义x1xxx 2 域为x|x1 或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 评评述述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透 . 要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字 母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1） 2+1 都可视为同一函数. （2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可 能是同一函数. 例 3. 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，一直分裂下去 （1）用列表表示，1 个细胞分裂 1、2、3、4、5、6、7、8 次后，得到的细胞个数； （2）用图像表示 1 个细胞分裂的次数n(nN N )与得到的细胞个数y之间的关系； 解解：（1） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出 1 个细胞分裂 1、2、3、4、5、6、7、8 次后，得到的细胞个数，列表如下 分裂次数 12345678 细胞个数 248163264128256 （2）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是y2n，nN N 变式： 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存KB，然后每分钟自身复制一次，23 复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 _ 分钟，该病毒占据MB 内存264 （ MB=KB）.1 10 2 例 4. 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据 经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系：Px （其中 c 为小于 96 的正常数） ),( 3 2 ),1 ( 96 1 Nxcx Nxcx x P 注：次品率，如表示每生产 10 件产品，约有 1 件为次品其余为 生产量 次品数 P0.1P 合格品 已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希 2 A 望定出合适的日产量 （1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；Tx （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：解：（1）当时，所以，每天的盈利额; ;xc 2 3 P 12 0 332 A TxAx 当时，1xc 1 96 P x 所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件故，每天的 1 1 96 x x 1 96 x x 盈利额 A x x x A x x xA x T )96(2 3 296 1 96 1 1 综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：Tx 3 , 1 2 96 0, x xAxc Tx xc （2）由（1）知，当时，每天的盈利额为 0xc 当时，1xcTA x x x )96(2 3 令，则96xt09695ct 故A t tA t t tT 144 2 1 97 2 )96(3 96 1144147 9720 22 tAA t 当且仅当，即时，等号成立 144 t t )84(12xt即 所以（i）当时，（等号当且仅当时成立） 84c max 147 2 TA84x （ii） 当时，由得，841 c1xc129695ct 易证函数在上单调递增（证明过程略） 144 g tt t (12,)t 所以，( )96g tgc 所以， 1144 97 2 TtA t ， 2 1144144 1892 97960 2961922 cc cAA cc 即 （等号当且仅当时取得） 2 max 144 1892 1922 cc TA c xc 综上，若，则当日产量为 84 件时，可获得最大利润；若，则当9684 c841 c 日产量为时，可获得最大利润 c 点评：点评：分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复习时认真对待 例 5. 矩形的长，宽，动点、分别在、上，且ABCD8AB 5AD EFBCCD ， （1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；CECFxAEFSx( )f x( )Sf x （2）求的最大值S 解：解：（1）( ) ABCDCEFABEADF Sf xSSSS A 2 111 408 (5)5 (8) 222 xxx 22 113113169 () 22228 xxx ，CECBCD05x 函数的解析式：；( )Sf x 2 113169 ( )()(05) 228 Sf xxx （2）在上单调递增，( )f x0,5x ，即的最大值为 max (5)20SfS20 例 6. 函数对一切实数，均有成立，且( )f xxy()( )(21)f xyf yxyx ，(1)0f （1）求的值；(0)f （2）对任意的，都有成立时，求的取 1 1 (0, ) 2 x 2 1 (0, ) 2 x 12 ()2logaf xxa 值范围 解：解：（1）由已知等式，()( )(21)f xyf yxyx 令，得，1x 0y (1)(0)2ff 又，(1)0f(0)2f （2）由，()( )(21)f xyf yxyx 令得，0y ( )(0)(1)f xfxx 由（1）知，(0)2f 2 ( )2f xxx ， 1 1 (0, ) 2 x 在上单调递增， 2 2 1111 11 ( )2() 24 f xxxx 1 1 (0, ) 2 x 1 3 ()2(0, ) 4 f x 要使任意，都有成立， 1 1 (0, ) 2 x 2 1 (0, ) 2 x 12 ()2logaf xx 当时，,显然不成立1a 2 1 loglog 2 aa x 当时，解得01a 2 1 loglog 2 aa x 01 13 log 24 a a 3 4 1 4 a 的取值范围是a 3 4 ,1) 4 例 7. （1）已知，求； 3 3 11 ()f xx xx ( )f x （2）已知，求； 2 (1)lgfx x ( )f x （3）已知是一次函数，且满足，求；( )f x3 (1)2 (1)217f xf xx( )f x （4）已知满足，求( )f x 1 2 ( )( )3f xfx x ( )f x 解：解：（1）， 33 3 1111 ()()3()f xxxx xxxx （或） 3 ( )3f xxx2x 2x （2）令（） ， 2 1t x 1t 则， 2 1 x t 2 ( )lg 1 f t t 2 ( )lg (1) 1 f xx x （3）设，( )(0)f xaxb a 则3 (1)2 (1)333222f xf xaxabaxab ，5217axbax ，2a 7b ( )27f xx （4） ， 1 2 ( )( )3f xfx x 把中的换成，得 ，x 1 x 13 2 ( )( )ff x xx 得，2 3 3 ( )6f xx x 1 ( )2f xx x 注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系 数法；第（4）题用方程组法 例 8. 某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费，若每月用水量不超过最低限 量 am3时，只付基本费 8 元及每户每月的定额耗损费 c 元，若用水量超过 am3时，除了付同 上的基本费和耗损费之外，超过部分每 m3付 b 元的超额费，已知耗损费不超过 5 元。 该市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付费用如下表所示： 月份用水量水费 一月 9m3 9 元 二月 15m3 19 元 三月 22m3 33 元 根据上面表格中的数据求 a，b，c 解：解：设每月用水量为 xm3,支付费用为 y 元，由收费方法知： )()(8 )0(8 axcaxb axc y 依题意：0c5, 8+c13 所以该用户第二、三月份的用水量均大于 am3, 将 x=15,x=22 代入上面的第二个式子，得： ， b=2,2a=c+19 cab cab )22(833 )15(819 若该用户一月份的用水量大于 am3, 则 9=8+2(9a)+c,2a=c+17 与 2a=c+19 矛盾， a9 将 y=9 代入 y=8+c 得 c=1, a=10, b=2, c=1 【模拟试题模拟试题】 1. 设集合A=R R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是 （ ） A. f:xy=|x|B. f:xy=C. f:xy=3xx D.f:xy=log2（1+|x|） 2. 设M=x|2x2，N=y|0y2，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则 f（x）的图象可以是 （ ） 2 2 2 2 - -2 2 A A o y x 2 2 2 2 - -2 2 B B o y x 2 2 2 2 - -2 2 C C o y x 2 2 2 2 - -2 2 D D o y x 3. 下列函数中，与函数相同的函数是 （ ）yx A. B. C. D. 2 x y x 2 ()yxlg10 xy 2 log 2 x y 4. 函数y=的定义域是 （ ）) 1(log 2 2 1 x A. ，1（1，）B. （，1）（1，）2232 C. 2，1（1，2）D. （2，1）（1，2） 5. 某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的 2000 元降到 1280 元， 则这种手机平均每次降价的百分率是 （ ） A.10%B.15%C.18%D.20% 6. 函数f（x）=|x1|的图象是 （ ） 1 1 1 1- -1 1 A A o y x 1 1 1 1- -1 1 B B o y x 1 1 1 1- -1 1 C C o y x 1 1 1 1- -1 1 D D o y x 7. 设函数，则_ 3,(10) ( ) ( (5),(10) xx f x f f xx (5)f 8. 设集合A和B都是自然数集合 N N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中 的元素 2nn，则在映射f下，象 20 的原象是 9. 设函数f（x）=则使得f（x）1 的自变量x的取值范围为 , 114 , 1) 1( 2 xx xx A. （，2）0，10B. （，2）0，1 C. （，2）1，10D. 2，01，10 10. 定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2（x2）sgnx的解集是 , 01 , 00 , 01 x x x _. 11. 如果ff（x） =2x1，求一次函数f（x）的解析式。 12. 如图，在边长为 4 的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A 点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y=f（x）. （1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式； （2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值. 13. 若f :y=3x+1 是从集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一个映射， 求自然数a、k的值及集合A、B. 14. 如果函数f（x）=（x+a）3对任意xR R 都有f（1+x）=f（1x） ，试求 f（2）+ f（2）的值. 15. 假设国家收购某种农产品的价格是元/，其中征税标准为每元征元（叫1.2kg1008 做税率为个百分点，即） ，计划可收购，为了减轻农民负担，决定税率降低个88%mkgx 百分点，预计收购可增加个百分点。 （1）写出税收（元）与的函数关系；（2）要2xyx 使此项税收在税率调节后不低于原计划的，确定的取值范围.78%x 试题答案试题答案 1. C2. B3. C4. A5. D6. B 7. 8 8. 4 9. 解析：f（x）是分段函数，故f（x）1 应分段求解. 当x1 时，f（x）1（x+1）21x2 或x0， x2 或 0x1. 当x1 时，f（x）1413x10，1x1x 1x10. 综上所述，x2 或 0x10. 答案：A 10. （，+）5 11. 解析：设f（x）=kx+b，则ff（x） =kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b. 由于该函数与y=2x1 是同一个函数， k2=2 且kb+b=1.k=.2 当k=时，b=1；22 当k=时，b=1+.22 答案：f（x）=x+1或f（x）=x+1+2222 12. 解：（1）这个函数的定义域为（0，12）. 当 0x4 时，S=f（x）=4x=2x； 2