高二数学导数的运用教案 人教版

高二数学导数的运用教案 人教版14生活中的优化问题1知识与技能能利用导数解决生活中的优化问题。2过程与方法通过学习实际问题，体会数学建模的方法和导数在解题中的作用。3情感，态度与价值观通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，坚定学好数学的信心。例1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x0)当x时l时l0l在x=0.17时有最小值.答：D点选在距AB0.17 km处时，动力线最短.例4已知函数的图像在处的切线方程为（1） 求函数的解析式；（2） 求函数在-3，1上的最值。解：（1），。又在的图像上，。（2），得的最大值为16，最小值为-76。例5. 已知a 0函数（1）当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在 -1，1上是单调函数，求a的取值范围.解：（I）对函数求导数得令得从而+2(1)2=0 解得 当 变化时，、的变化如下表 + 0 0 +递增极大值递减 极小值 递增在=处取得极大值，在=处取得极小值。当0时，1,在上为减函数，在上为增函数而当时=，当x=0时，所以当时，取得最小值（II）当0时，在上为单调函数的充要条件是 即，解得于是在-1，1上为单调函数的充要条件是即的取值范围是例6在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例7已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入，利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大例8.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b. 解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=bAD=h+b, S= CD=,AB=CD.l=2+b由得b=h,代入,l=l=0,h=, 当h时，l时，l0.h=时，l取最小值，此时b=例9.已知等腰梯形的下底为1，对角线与DC夹角为，梯形的对角线垂直于腰.(1)把梯形的面积表示成的函数.(2)当为何值时梯形的面积最大. (1)解：如图，等腰梯形ABCD，CD=1，DBBC，BECD，AFCD.RtDBC中，BC=1sin=sin.RtBEC中，BE=BCcos=sincos=sin2.CE=BCsin=sinsin=sin2.AB=12sin2.梯形的面积S=(AB+CD)BE=(12sin2+1)sin2=(1sin2)sin2=cos2sin2.即S=cos2sin2.(2)解：令S=2cos(sin)sin2+cos2cos22=sin22+cos2cos2=sin22+(cos2+1)cos2=sin22+cos22+cos2=(1cos22)+ cos22+cos2=cos22+cos2=0解得c