高二数学平面的性质应用举例人教版知识精讲

高二数学高二数学平面的性质应用举例平面的性质应用举例人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 平面的性质应用举例 目标：运用平面性质证明一些几何问题 二. 重点、难点： 重点：理解平面性质并会用平面性质证题 难点：应用三个公理及推论证明共面、共线、共点问题 平面性质回顾： 公理一：（图示） 公理二：（图示） 公理三：（图示） 公理三推论： 【典型例题典型例题】 例 1. 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、AD、CB、CD 上的点，且直线 EF 和 HG 交于点 P，求证：点 B、D、P 在同一条直线上。 证明：证明：平面PEFABD 平面PABD 同理平面PCBD 由知：平面平面PABDCBDBD 即PBD 点 B、D、P 在同一条直线上。 注：注：关键是先认清 BD 是两平面 ABD 和 CBD 的交线，然后再证明 P 的性质是同时在两个 平面内，最后由两平面的交线的唯一性，得证。 例 2. 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 AB 中点，F 为 A1A 的中点，求证： （1）E、C、D1、F 四点共面；（2）CE、D1F、DA 三线共点。 证明：证明：（1）F、E 是 A1A、AB 中点 FEA1BD1C ，由与确定一个平面FED CEFD C 11 于是 F、E、D1、C 四点共面 （2）由（1）知，ECD1F 为平面图形， 且FED C 1 2 1 知 FD1与 EC 共面，但不平行 FD1与 CE 交于点 P， 又平面PFDA D 11 平面 同理平面 PA D PAC PAD 1 即 CE、D1F、DA 三线共交于 P 例 3. 如图，求证： 、 、ABCDABBCDDACEBE D 三点共线。 证明：证明：ABCD AB、CD 确定一个平面 又，且，即DDCDD 在 与 的交线上，同理可证：D EB、 均在 与 的交线上 B、E、D 三点共线。 例 4. 证明：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。 解：解：设 a、b、c、d，如图： abA a 与 b 确定一个平面 又，cbBbcaCa 即 B C BCc 同理可证：d a、b、c、d 必在同一平面内。 例 5. 如图，已知直线 与 不共面，直线，直线，又abcaMbcNa 。AbBcCABC，求证： 、 、 三点不共线 证明：证明：（反证） 假设 A、B、C 三点共线 则平面ABCNBC 又平面MCNBC 、平面AMNBC 直线平面aNBC 又平面bNBC 于是 a 与 b 共面，矛盾 A、B、C 三点不共线 【模拟试题模拟试题】 1. 共点的四条直线最多能确定几个平面？ 2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有几个？ 3. 已知平面，设过平面，点 、，点且，lABCClABlR A、B、C 三点的平面为，则是（ ） A. 直线 ACB. 直线 BC C. 直线 CRD. 以上全错 4. 已知ABC 三边 AB、BC、CA 分别交平面于 P、Q、R，求证：P、Q、R 共线。 5. 如果ABC 和A1B1C1不在同一平面内，且 AA1、BB1、CC1两两相交，求证：三直线 AA1、BB1、CC1交于一点。 试题答案试题答案 1. 6 个 2. 4 个 3. C 4. 证：PABABCPABC平面，即平面 且P PABCl平面 同理QlRl，且 P、Q、R 共线。 5. 证明：AA1与 BB1相交 设AABBP 11 又PAAACA