高二数学圆的方程通用版知识精讲VIP

高二数学圆的方程通用版【本讲主要内容】 圆的方程 圆的标准方程和圆的一般方程的特点【知识掌握】【知识点精析】 1. 圆的标准方程：（xa）2（yb）2r2（1） 方程（1）就是圆心是C（a，b）、半径是r的圆的方程。我们把它叫做圆的标准方程。 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件。注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 2. 圆的一般方程： 将方程x2y2DxEyF0左边配方得： （1） （1）当D2E24F0时，方程（1）与标准方程比较，可以看出方程 表示以为圆心、半径的圆； （2）当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0只有一个实数解， 解所以表示一个点 （3）当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义：当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0称为圆的一般方程。圆的一般方程的特点： 当二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0具有条件： （1）x2和y2的系数相同，不等于零，即AC0； （2）没有xy项，即B0； （3） D2E24F0，它才表示圆。 3. 圆的一般方程与圆的标准方程的异同 （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然。 （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用。 4. 圆的参数方程：【解题方法指导】 例1.（1）已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程；（2）试判断点M（6，9）、N（3，3）、Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决。 解法一：设圆心C（a，b）、半径r，则由C为P1P2的中点得： 。 又由两点间的距离公式得： 。 所求圆的方程为： （x5）2（y6）210 分析二： 从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决。 解法二：直径上的圆周角是直角， 对于圆上任一点P（x，y），有PP1PP2。 即 。 化简得： 。 即（x5）2（y6）210为所求圆的方程。 解（2）：分别计算点到圆心的距离： 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。 例2. 求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方程，并求出圆心坐标和半径。 分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解。 解法1：设圆的标准方程为：（xa）2（yb）2r2 直线0M1的中垂线方程为： xy10 直线0M2的中垂线方程为： 2xy50 由，解得圆心坐标为（4，3） 又，半径OA5 即a4，b3，r5 所以圆的方程为： 注：也可以将三点的坐标代入圆的标准方程求出a,b,r。 解法2：设圆的方程为 因为O、M1、M2三点在圆上，则有 解得：D8，E6，F0 所求圆的方程为 x2y28x6y0 可化为 （x4）2（y3）225 圆心为（4，3），半径为5。 （1）求圆的方程多用待定系数法。 其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程。 （2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程。一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程。 例3. 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB20m，拱高OP4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确0.01m）。 解：建立直角坐标系如图所示，圆心在y轴上，设圆心坐标为（0，b），圆的半径是r，那么圆的方程是:x2（yb）2r2 因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解，于是得到方程组 解得b10.5，r214.52 所以这个圆的方程是 x2（y10.5）214.52 把点P2的横坐标x2代入这个圆的方程，得 （2）2 （y10.5）214.52 y10.5 （因为P2的纵坐标大于0，所以方根取正值）于是 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。【考点突破】【考点指要】 圆的方程是历年来高考的考点，利用定义和性质，结合代数、解析几何的基本思想，将所给的条件转化，是高考的命题方向；对于圆的方程的考查，主要集中在直线与圆、圆与圆的位置关系，轨迹问题及与圆有关的最值问题上。高考比重约1015分。【典型例题分析】 例4. （2020京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x1相切，点C在l上。 （）求动圆圆心的轨迹M的方程； （）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点. （i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围. （）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y24x。 解法二：设M（x，y），依题意有|MP|MN|， 所以|x1|。化简得：y24x。 （）（i）由题意得，直线AB的方程为y（x1）。 由消y得3x210x30， 解得x1，x23。 所以A点坐标为（），B点坐标为（3，2）， |AB|x1x22。 假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|AB|且|AC|AB|，即 由得42（y2）2（）2（y）2， 解得y。 但y不符合， 所以由，组成的方程组无解。 因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形。 （ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由得y2， 即当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，故y2。 又|AC|2（1）2（y）2y2， |BC|2（31）2（y2）2284yy2， |AB|2（）2。 当CAB为钝角时，cosA|AC|2|AB|2，即 ，即 y时，CAB为钝角。 当|AC|2|BC|2|AB|2，即 ，即y|AC|2|BC|2，即， 即。 该不等式无解，所以ACB不可能为钝角。 因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是 。 解法二：以AB为直径的圆的方程为（x）2（y）2（）2。 圆心（）到直线l：x1的距离为， 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（1，）。 当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，ACB为锐角，即ABC中，ACB不可能是钝角。 因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角。 过点A且与AB垂直的直线方程为。 令x1得y。 过点B且与AB垂直的直线方程为y2（x3）。 令x1得y。 又由解得y2， 所以，当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。 因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y（y2）。 评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”。题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查。对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 例5. （06北京卷，19）椭圆C：的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，PF1 PF2 （）求椭圆C的方程； （）若直线过圆的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程。 解：（）因为点P在椭圆C上，所以，a3。 在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c,从而b2a2c24, 所以椭圆C的方程为1。 （） 解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）。 已知圆的方程为（x2）2（y1）25,所以圆心M的坐标为（2，1）。 从而可设直线l的方程为 yk（x2）1, 代入椭圆C的方程得 （49k2）x2（36k218k）x36k236k270。 因为A，B关于点M对称。 所以。 解得， 所以直线l的方程为 即8x9y250。 （经检验，所求直线方程符合题意） 解法二：已知圆的方程为（x2）2（y1）25,所以圆心M的坐标为（2，1）。 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）。由题意x1x2且 由得 因为A、B关于点M对称， 所以x1 x24, y1 y22, 代入得， 即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y1（x2）， 即8x9y250。 （经检验，所求直线方程符合题意。）【综合测试】一. 选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. （06重庆卷，3）以点（2，1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是（ ） A. a2B. a0C. 2a0D. 2a0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。（14分）综合测试答案一. 选择题（本大