高二数学相似三角形的判定及有关性质（理）人教实验版（A）知识精讲

高二数学相似三角形的判定及有关性质（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形的判定及有关性质二. 重点、难点：1. 平行线等分线段定理及其推论2. 平行线分线段成例定理及其推论3. 相似三角形判定定理4. 相似三角形性质5. 射影定理【典型例题】例1 如图ABC中，C，B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E，求证：BDOBOCDEC。证明：易得AO平分BAC，AODE ADO=AEO BDO=CEO又BDO=90+BAC BOC=180（ABC+ACB）=90+BAC BDO=BOC 又DBO=OBC BDOBOC 同理ECOOCB BDOBOCOEC例2 已知：在ABC中，D为BC边上的点，且AD=BD，BDE=DAC。求证：。证明： AD=BD B=1 2=B+BDE 又BDE=DAC 2=BAC 在AED与BAC中，1=B，2=BAC AEDBAC AD=BD 例3 已知：D、E分别在ABC的边AC和AB上，BD与CE交于F，其中AE=BE，求。证明：取AD中点N，连结EN ENBD = = =11例4 如图，在等腰直角ABC中，AB=1，A=90，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EFBE，求CEF的面积。解：作FDAC于D，设FD=x 由AB=AC=1，A=90，C=45知DFC=45=C DC=DF=x DE=ECDC=由EFBE，DFEC，A=90 知BEA=90FEC=EFDFDE=A ABEDEF 例5 已知：RtABC中，BAC=90，在AB，AC边上分别取点P、Q，连结PQ，作AFPQ于F，AF延长线交BC于D，求证：。证明：作BMAD于M，CNAD交AD延长线于点N PQAD PQ/BM/CN PQ/BM NC/PQ RtABC中，BAC=90 AFPQ 由射影定理得， 例6 已知：ABC中，A=2B，求证：。证明：延长CA至D使AD=AB，连结BD，则1=D CAB=2D CAB=2CBA CBA=D 又 C=C ABCBDC 又AD=AB 或作CAB平分线AD，CADCBA 例7 已知：在ABC中CD为AB边上的高，E为BC边上的中点，DE的延长线交AC延长线于F，求证：。证明：（1）方法一：在EF上截取EM=DE，连结BM CDAB DBC为Rt E为BC边上的中点 DE=BC 又 EM=DE DM=BC EM=DM BE=EC BDCM MC/BD （2）方法二：作EM/BA交AC于M E为BC中点 AM=AC CDAB DBC为Rt DE=BC EM/BA 例8 如图，ABC中，D、E分别在边BC，AB上且1=2=3，设ABC，EBD，ADC的周长分别为m，m1，m2，求证：。证明：令AB=c，BC=a，CA=b，由2=3知ED/AC，故EDBACB ，即由1=3，C公共 BACADC 当即时， 例9 已知：梯形ABCD中，B=C=90过BC的中点F作FEAD，且EF=CF，求证：。解：连结FD、FA FEAD DEF=90 CF=EF FD=FD C=DEF=90 DCFDEF DE=DC 1=2同理可证EA=BA 3=4 2+4=90 EFAD由射影定理得 EF=CF 例10 已知：如图，在ABC中，AB=12，AE=6，EC=4，且。（1）求AD的长；（2）求证：。（1）解：设AD=x，则DB=ABAD=12x，则 ，即（2）证明： AB=AD+DB，AC=AE+EC 例11 如图，在RtABC中，已知ACB=90，且CHAB，HEBC，HFAC。求证：（1）HEFEHC；（2）HEFHBC。分析：由已知条件中三个“重点”，ACBC，HFAC，HEBC，可得出四边形EHFC是矩形，由矩形对角线相等，各角均为90，对边相等中两个条件加公共边可证（1）题，由此可得HCB=HFE。证明：（1）ACB=90，HEBC，HFAC 四边形FHEC是矩形 HF=EC，FHE=CEH=90 又HE=EH HEFEHC（2）由HEFEHC得HFE=HCB又FHE=CHB=90 HEFHBC例12 如图，梯形ABCD中，AB/CD，且AB=2CD。E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M。（1）求证：EDMFBM；（2）若DB=9，求BM。（1）证明： E是AB的中点 AB=2EB AB=2CD CD=EB又 AB/CD 四边形CBED是平行四边形 CB/ED DEM=BFM，EDM=FBM EDMFBM（2）解： EDMFBM F是BC的中点 DE=2BF DM=2BM 【模拟试题】1. 如图所示，在ABC中，BAC=90，D是BC的中点，AEAD交CB延长线于E，则结论正确的是（ ）A. AEDACBB. AEBACDC. BAEACED. AECDAC2. 如图所示，DE是ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若DE=4，则FG等于（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 123. ABC的三边长分别为的两边长分别为1和，如果ABC，那么的第三边长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，D是ABC的AB边上的一点，要使ACDABC，则它们还必须具备的条件是（ ）A. B. C. D. 5. 如图所示，ABC中，DE/BC，则下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图所示，已知ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件，不能推出ABP与ECP相似的是（ ）A. APB=EPCB. APE=90C. P是BC的中点D. 7. 如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AEEF，则下列结论正确的是（ ）A. BAE=30B. C. D. 8. 如图所示，等腰直角ABC中，AD是直角边BC上的中线，BEAD，交AC于E，EFBC，若AB=BC=，则EF等于（ ）A. B. C. D. 9. 如图所示，已知AD是ABC的中线，E是AD上的一点，CE交AB于F，且，则等于（ ）A. B. C. D. 10. 如图所示，ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于F，则等于（ ）A. 2：5 B. 3：5 C. 2：3 D. 5：711. 如图所示，在ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且，连结CF并延长交AB于点E，则等于（ ）A. 1：6 B. 1：8 C. 1：9 D. 1：1012. 如图所示，梯形ABCD中，AD/BC，ABC=90，对角线ACBD，垂足为P，已知，则的值是（ ）A. B. C. D. 3：413. 如图所示，P为的斜边AB上任意一点（除A、B外），过点P作直线截ABC，使截得的新三角形与ABC相似，满足这样条件的直线的作法共有（ ）A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 3种以上14. 如图所示，已知ABC中，DE/FG/BC，且，则等于（ ）A. 1：9：36 B. 1：4：9 C. 1：8：27 D. 1：8：3615. 如图所示，在ABC中，ACB