16.3角的平分线

第十六章轴对称和中心对称,16.3角的平分线,八年级数学上新课标冀教,学习新知,.,在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内,到公路BC,铁路BD的距离均为350米,又测得CBD=60.你能在图中确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为120000),问题思考,活动一:角平分线的性质定理及其逆定理,按下图所示的过程，将你画出的AOB依上述办法对折后，设折痕为直线OC；再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开后，猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.,角平分线的性质定理：,定理1角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。,应用定理的书写格式：,OP是的平分线，,PD=PE.,（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,已知：如图所示，OC是的平分线，P是OC上任意一点，垂足分别为D，E。求证：PD=PE.,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,已知：如图，垂足分别是D、E，PD=PE，求证：点P在的角平分线上.,证明：,作射线OP,在RtPDO和RtPEO中，,（全等三角形的对应角相等）,OP=OP（公共边）,PD=PE（已知）,定理2,(补充例题)如图所示，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,解析因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.,证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分别D，E，F.,BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.,同理PE=PF，PD=PE=PF,即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,知识拓展利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.,知识拓展(1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.,活动二:角平分线的画法,3.作射线OC,则OC为所要求作的AOB的平分线.,1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E.,2.分别以点D，E为圆心,适当长为半径，在AOB的内部画弧，两弧相交于点C.,D,E,C,3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).,课堂小结,1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.,2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.,检测反馈,1.如图所示，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，SABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是()A.3B.4C.6D.5,解析:过点D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB,DE=DF，SABC=SABD+SACD，42+AC2=7，解得AC=3.故选A.,A,2.如图所示,OP平分AOB，PAOA，PBOB,垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分APBC.OA=OBD.AB平分OP,解析:OP平分AOB，PAOA，PBOB,PA=PB，OPAOPB，APO=BPO，OA=OB，A,B,C正确.设PO与AB相交于E.OA=OB，AOP=BOP,OE=OE，AOEBOE，AEO=BEO=90，OP垂直于AB,而不能得到AB平分OP，故D不一定成立.故选D.,D,3.如图所示,在ABC中，角平分线AD，BE相交于O点，连接CO,则下列结论成立的是()A.CEOCDOB.OE=ODC.CO平分ACBD.OC=OD,解析:角平分线AD，BE相交于O点，CO平分ACB.故选C.,C,4.如图所示,ABC中，C=90，AM平分CAB，BC=16cm,CMMB=35，求点M到AB的距离.,解析:过点M作MDAB于D，先求出CM，再根据角平分线上的点