高二数学期末考试教学案—推理与证明选修二

高二年级数学期末考试教学案推理与证明2020-05-30一、考试说明推理与证明合情推理与演绎推理B分析法和综合法A反证法A二、基础知识（认真研读教材）（一）推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结 论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。（二）证明直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2间接证明-反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。3.数学归纳法一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当取第一个值是命题成立；假设当命题成立，证明当时命题也成立。那么由就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。注：证明时，两个步骤，一个都不能少。其中，第一步是递推的基础，第二步则是证明了递推关系成立。，用归纳法证明命题，格式很重要，通常可以简记为“两步三结论”。两步是指证明的两步(1)(奠定递推基础)和(2)(证明递推关系)；三结论分别是指：步骤(1)中最后要指出当n=n0时命题成立，步骤(2)最后要指出当n=k+1时命题成立，证明的最后要给出一个结论“根据(1)(2)可知，命题对任意nN*(nn0)都成立”。易错点分析：初始值取值是多少；第二步证明n=k+1时命题成立需要使用归纳假设；由n=k到n=k+1时，命题的变化(增减项)，如： 从n=k到n=k+1时，实际增加的项是三、充分利用空间概念和题设信息探究可类比平几中的有关结论。1平几中，“垂直同一直线的两直线必平行”，类比到空间为“垂直于同一平面的两直线必平行”和“垂直于同一直线的两平面必平行”； 2 平几中“夹在两平行线间的平行线段相等”，类比到空间为“夹在两个平行平面间的平行线段相等”.3 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和为定值，拓展空间为，正三棱锥底面上的任一点到三个面的距离之和为定值 （即正三棱锥侧面上的高，斜高）； 4 正三角形内任一点到各边距离之和为定值即正三角形的高；类比结论，正四面体内任一点到各面的距离之和为定值即为正四面体的高；5 正方形的内切球和外接球的半径比为1：；正方体的内切球和外接球与棱相切的球的半径比为 .；四、总结三角形与四面体类比的一些性质（一）从等边三角形到正四面体：三角形的性质1.等边三角形内任意一点P到三边的距离之和相等，等于三角形的高。四面体猜想1.正四面体内任意一点P到四个面的距离之和相等，等于正四面体的高。（二）从直角三角形到直角四面体三角形性质2：（勾股定理）设SAB的两边SA、SB互相垂直，则。四面体猜想2：设三棱锥SABC的三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，则三角形性质3：（射影定理）设SAB的两边SA、SB互相垂直，点S在AC边上的射影为H，则四面体猜想3：设三棱锥SABC的三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，点S在平面ABC上的射影为H，则三角形性质4：设SAB的两边SA、SB互相垂直，点S在AC边上的射影为H，则四面体猜想4：设三棱锥SABC的三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，点S在平面ABC上的射影为H，则（三） 从任意三角形到任意四面体：三角形性质5：过的底边AB上任意一点O分别作OA1AC，OB1BC，分别交BC、AC于A1、B1，则为定值1四面体猜想5：过四面体VABC的底面ABC上任意一点O分别作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1、B1、 C1分别是所作直线与侧面交点。则为定值1ABCB1C1B1PMN三角形性质6：设、分别是的两边PA、PB上的点，则四面体猜想6：设、分别是四面体的三条侧棱PA、PB、PC上的点，则 三角形的余弦定理的类比：三角形的余弦定理，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。用空间概念和余弦定理. 其中为侧面B1C1CB和侧面C1CAB1所成的平面角. 如图，P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱柱BB1上一点，用二面角的定义，作棱的直接面PMN，则直接面为三角形，易知三角形的三内角分别为相邻侧面所成的平面角，三边分别为三侧面的平行四边形侧棱上的高，由余弦定理知，其中为侧面B1C1CB和侧面C1CAB1所成的平面角,注意到侧棱相等和平行四边形面积公式的特征,则有 .五、例1.在课本必修里面我们曾经学习了基本不等式：并且还知道此结论对三个正数、四个正数均成立，即， 。猜想，当时，有怎样的不等式成立？例2.设在R上定义的函数，对任意实数x都有，试求归纳出的值。例3.观察以下各等式：分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对你的结论进行证明。例4. 已知数列的前n项和为，且，（1）试计算，并猜想的表达式;(2) 证明你的猜想，并求出的表达式。练习：1.从中，得出一般性结论是2. 已知函数，则=3.，经计算的，推测当时，有_.（）4.已知：，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：5.考察下列一组不等式：.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是6.观察下列不等式：， ，由此猜测第个不等式为 （）7.在中，若则三角形ABC的外接圆半径，把此结论类比到空间，写出类似的结论 。（取空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长分别为，则此三棱锥外接球的半径是。）8.已知命题：平面上一矩形的对角线与边和 所成角分别为，则。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式：_（长方体中，对角线与棱所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角线与平面所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角面与平面所成的二面角分别为，则。）9.若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有= 10.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：_答案：(1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1. 11通过圆与球的类比，由“半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为”猜想关于球的相应命题为（半径为的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为）12.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列的一些性质，各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；各个面都是全等的正三角形， 相邻两个面所成的二面角相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等你认为比较恰当的是 2 13类比平面上的命题（m），给出在空间中的类似命题（n）的猜想（m）如果的三条边上的高分别为和，内任意一点到三条边的距离分别为，那么（n）_（从四面体的四个顶点分别向所对的面作垂线，垂线长分别为和为四面体内任意一点，从点向四个顶点所对的面作垂线，垂线长分别为和，那么类比所得的关系式是）14.对于集合N=1, 2, 3, n及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合1, 2, 4, 6, 9的交替和是964216，集合5的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N=1, 2的所有非空子集为1，2，1, 2，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(21)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N=1, 2, 3, n的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= n .2n1 。(不必给出证明)15.在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有16.在数列中，在数列中，则_（的奇偶性为：奇，奇，偶，偶，奇，奇，偶，偶，从而分别为： ，1，1，1，1，周期为4，所以，）17.若为的各位数字之和，如：，则;记1118.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n3)维向量，n维向量可用（1，2，3，4，,n）表示.设a =( a 1, a 2, a 3, a 4，, a n)，b=（b1, b2, b3, b4,bn），规定向量a与b夹角的余弦为. 当a =(1, 1,1,1,1)