高二数学空间两条直线人教版知识精讲

高二数学高二数学空间两条直线空间两条直线人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 空间两条直线 目标：空间两条直线的位置关系；平行公理；等角定理，异面直线。 重点：平行公理、等角定理、异面直线。 难点：异面直线的判断及所成角。 知识点： 内的两条直线。不同在任何一个平面异面 共面 平行 相交 系空间两条直线的位置关 . 1 为空间三直线。、，其中，则平行公理：若cbaca bc ba / / / . 2 3. 等角定理：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，且方向相同，则这两个角的大 小相等。 4. 异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直 线是异面直线。 B A a 5. 异面直线所成角： 过空间任意一点 O，分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a 、b ，则 a与 b所成的锐角 或直角叫做 a 与 b 的（夹角）所成角。 6. 异面直线所成角求法： （1）作角：平移 a 或 b，使 a 与 b 相交，得到所求角。 （2）以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。 注意：若 cos0，则所求角为 -。 【典型例题典型例题】 例 1. 在空间四边形 ABCD 的对角线 BD 上取两点 M、N，分别过点 M、N 在两个平面内各作 一条异于对角线 BD 的直线 ME、NF。求证 ME 和 NF 是异面直线。 A E N B M D F C 证法一：证法一：用判定定理证 BCDMBCDNF平面，平面 BCDFFNM平面，且 是异面直线与FNME 证法二：证法二：反证法： 假设 ME 与 NF 不是异面直线，即 N、F、M、E 四点共面 ，平面，且平面则BDEBCDEBCDE 这与 E 不在 BD 上矛盾。 ME 与 NF 是异面直线。 例 2. 在正方体 AC1中，M、N 分别是 A1B1、B1B 的中点，求 （1）AM 和 CN 所成角的大小； （2）AM 和 BD 所成角的大小； （3）AM 和 BD1所成角的大小。 D1 C1 G A1 B1 M N D C A Q P B 解：解： ABBPPAB 4 1 1，使上取点）在（ 设 AB=4，则CNP 为 AM 与 CN 所成角 17525CPCNPNCNP，中，在 5 2 20 8 5252 17205 NCPN2 PCNCPN CNPcos 222 5 2 arccosCNP （2）将 BD 平移至 B1D1，再平移至 MG（G 为 A1D1中点） 则AMG 为 AM 与 BD 所成角。 522252AGMGAMAMG，中，在 10 10 108 8 22522 20820 2 cos 222 GMAM AGGMAM AMG 10 10 arccosAMG （3）补形如下正方体 BEFCB1E1F1C1 取 B1E1中点 H，则 AM/BH 所成角与为 11 BDAMHBD 1323452 11 HDBDBH， 15 15 34522 524820 2 cos 1 2 1 2 1 2 1 BDBH HDBDBH HBD 15 15 arccos 1 HBD D1 C1 F1 A1 B 1 M H E1 F E C B A D 例 3. 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 （1）求证：EFGH 是平行四边形。 （2）如果 AC=BD，求证 EFGH 是菱形 （3）如果 ACBD，求证 EFGH 是矩形。 A H E D G B F C 证：证： BDFG BDEH 2 1 / / 2 1 / / 1 ）（ EFGH 是平行四边形。 是菱形 又 ）（ EFGH BDAC BDFG ACFE 2 1 / 2 1 /2 BDAC ACEF BDFG / / 3 ）（ 为矩形 为平行四边形）知由（ EFGH EFGH GHEF 1 例 4. lalaa/，求证：，平面，且平面若直线 l b a c 证：证：过 a 分别作平面 、 cb，使 /aa， / / / bcb ca ba lb，又 la ba lb / / / ，于是， 又 例 5. 若三个平面两两相交于三条直线，证明这三条直线交于一点或互相平行。 已知： cba， a c b 证明：证明：b 与 c 为共面直线 Pcb若 . 1 P bP b aPP ，同理， a、b、c 相交于 P 点 ab a bc bcb / / . 2 若 cba/ P a c b 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题 1. 若 a、b 为异面直线，直线 c/a，则 c 与 b 的位置关系是（ ） A. 相交B. 异面 C. 平行D. 异面或相交 2. 两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ） A. 4 个B. 5 个 C. 6 个D. 8 个 3. 正方体 ABCD-A1B1C1D1中，所有各面的对角线能与 AB1成 60角的异面直线的条数有 （ ） A. 2 条B. 4 条 C. 5 条D. 6 条 4. 在空间四点中，三点共线是四点共面的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分非必要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ） A. 平行B. 垂直 C. 相交但不垂直D. 异面 6. 如图所示，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是（ ） 7. 在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF 与 HG 交于点 M，则（ ） A. M 一定在直线 AC 上 B. M 一定在直线 BD 上 C. M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D. M 不在 AC 上，也不在 BD 上 8. 如图所示是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： （1）AB 与 CD 所在直线垂直； （2）CD 与 EF 所在直线平行； （3）AB 与 MN 所在直线成 60角； （4）MN 与 EF 所在直线异面。 其中正确命题的序号是（ ） 二. 填空题 9. 若 a、b、l是两两异面的直线，a 与 b 所成的角是，所成的角都是 3 blal与、与 ，则 的取值范围是（ ） 10. 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G 分别为 AB、BC、CC1的中点，则 EF 与 BG 所成角的余弦值为（ ） 三. 解答题 11. 空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点。求证：EF 和 AD 为异面直线。 12. 已知：四边形 ABCD 中，AB/CD，AB、BC、DC、AD（或其延长线）分别与平面 相 交于 E、F、G、H 四点，求证：E、F、G、H 四点共线。 13. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点 P， 2 7 PCPB ，延长 BP 至 D，使，E 是 BC 的中点，求 AE 和 CD 所成角的大小。 2 3 PA7BD 试题答案试题答案 一. 选择题 1. D2. C3. B4. C 5. B6. C7. A8. （3） （4） 二. 填空题 9. 26 ， 10. 5 10 三. 解答题 11. 证明：反证若 EF 与 AD 共面 ABCEF平面 ABCAD平面 即 ABCD 共面，这与 ABCD 是空间四边形矛盾 EF 与 AD 异面 A E D B F C 12. 证明； CDAB/ ABCD 共面于 lE E ABE 同理