高二数学棱锥人教版知识精讲

高二数学高二数学棱锥棱锥人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 棱锥 二. 重点、难点： （1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些 面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）棱锥的分类：按底面边数可把棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 （3）棱锥性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们 面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。 过高的中点平行于底面的截面叫做中截面。 （4）特殊的棱锥正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射 影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥有下面一些性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，叫做 正棱锥的斜高。 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 如果正棱锥的底面周长是 c，斜高是 h，那么它的侧面积是： 【典型例题典型例题】 例 1. 如图 1，已知三棱锥 SABC，下列命题中假命题是 若 SASBSC，则点 S 在平面 ABC 上的射影为ABC 的外心； 若 SASBSC，则三棱锥为正三棱锥； 若点 S 到ABC 各边的距离都相等，则点 S 在平面 ABC 上的射影为ABC 的内心； 若 SA，SB，SC 两两垂直，则点 S 在平面 ABC 上的射影为SBC 的垂心。 A. B. C. D. 解：解：设点 S 在平面 ABC 上的射影为点 O，若 SASBSC，则 OAOBOC。所以 O 为ABC 的外心。所以是真命题。尽管 O 是外心，但是由于不能确定ABC 是否是 正三角形，所以不能确定三棱锥是正三棱锥。所以是假命题。 过点 S 分别作 SEAB，SFBC，SMAC，垂足分别为 E，F，M。连结 EO，OF，OM 易证 OEAB，OFBC，OMAC，且 OEOFOM。若点 O 在ABC 内部（如图 2） ，则 O 为三条内角平分线的交点，O 为内心；若点 O 在ABC 外部（如图 3） ，则显然 O 不是ABC 的内心，O 是ABC 一条内角平分线和两条外角平分线的交点 （O 是旁心） 。所以是假命题。 作点 S 在平面 ABC 上的射影 O（图 4） 。 SASB，SASC SA平面 SBC SABC BCAO 同理 ABCO，ACBO 即点 O 为ABC 的垂心，所以是真命题。 综上所述，答案为 B。 例 2. 已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 a，侧面与底面所成角为 60，求它的高、 侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值 分析：分析：如图 5，作 SO底面于 O，由正三棱锥的定义知 O 是ABC 的中心，连结 CO 并延长交 AB 于 D，则 CDAB，连 SD SO底面，OD 是 SD 在底面上的射影 SDAB，SDC 是侧面与底面所成二面角的平面角，SDC60 ABC 是边长为 a 的正三角形 作 BESC 于 E，连结 AE BCAC，BCEACE，CECE BCEACE， AECBEC90 AEB 是正三棱锥两相邻侧面所成二面角的平面角 又BCSFSCBE 评注：本题充分应用了正棱锥的性质，在正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角 形在计算中起重要作用，它们分别是高、斜高和底面边心距构成的直角三角形，高、侧棱、 底面的外接圆半径构成的直角三角形，斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形，以及 含有相邻两个侧面所构成二面角的平面角的三角形（如ABE） 例 3. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中， ABC90， SA面 ABCD，SAABBC1，AD 2 1 （ I）求四棱锥 SABCD 的体积；（ 11）求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值 解：解：（I）直角梯形 ABCD 的面积是 M底面 2 1 （ BCAD）AB 4 3 1 2 5 . 01 四棱推 SABCD 的体积是 4 1 4 3 1 3 1 3 1 底面 MSAV （II）延长 BA、CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱 ADBC，BC2AD EAABSA，SA平面 ABCD SABE SAB 与SAE 均为等腰直角三角形 SESB 又 BCEB，BC面 SEB， 故 SB 是 CS 在面 SEB 上的射影， CSSE，所以BSC 是所求二面角的平面角 2 2 , 1,2 22 SB BC BSCtg SBBCBCABSASB 即所求二面角的正切值为 2 2 。 【疑难解析疑难解析】 1. 在边长为 a 的立方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 AB 的中点，求点 A1到平面 DEB1的距离。 疑难或错解：疑难或错解：按照点到平面距离的意义求解，先设法确定点 A1在平面 DEB1内的射影， 再通过有关线段的计算求得，这种直接的方法费时费力，并且极易出错，不是好方法 剖析：点 A1到平面 DEB1的距离就是三棱锥 A1DEB1的高，设为 h，则 以间接地求得。 正解：正解：设三棱锥 A1DEB1的高为 h，体积为 V，则 三棱锥 DA1EB1的高 ADa， 此即为点 A1到平面 DEB1的距离 点评：（1）应用体积方法求点面距离的关键在于选择一个合适的三棱锥，使其高恰 为所求的点到平面的距离，同时该三棱锥的底面积，和体积可以通过各种渠道方便地得到。 （2）立体几何中的体积法类同于平面几何中的面积法，应用范围很广。例如，用面 积法可以证明正三角形内任意一点到三边距离之和是定值；用体积法则可以证明正四面体 内任意一点到四个面的距离之和为定值，等等。 【模拟试题模拟试题】 1. 已知正三棱锥 PABC 的底面边长为 a，过 BC 作截面 DBC 垂直侧棱 PA 于 D，且此 截面与底面成 30二面角，求此正三棱锥的侧面积。 2. 已知四棱锥 VABCD 的高为 h，底面为菱形，侧面 VDA 和侧面 VDC 夹角为 120， 且都垂直于底面，另两侧面与底面夹角都是 45，求棱锥的全面积。 3. 三棱锥 PABC 的底面三角形的边长 AB6cm，侧面 PAB 的面积为 12cm2，侧棱 PC 垂直于底面且与侧面 PAB 成 30角，求此三棱锥的体积。 【试题答案试题答案】 1. 分析：分析：关键：求斜高解直角三角形。 如图 6，作 PO底面 ABC 于 O PABC 为正三棱锥， O 为底面正三角形 ABC 的中心，连结 AO 并延长交 BC 于 M，连结 PM，则 AMBC，PMBC， BC平面 APM，BCDM截面 DBC 与底面成 30二面角， AMD30 PA平面 DBC，PADM，PAM60 正三角形 ABC 的边长为 a， 评注：熟悉正多边形的元素之间的关系会给解题带来很多方便。 2. 分析：分析：关键是找出另两个侧面与底面的二面角的平面角，并证明是二面角的平面角， 使空间问题转化到平面问题。 解：解：如图 7，面 VDA底面 ABCD， 面 VDC底面 ABCD，且平面 VDA平面 VDCVD， VD底面 ABCD，VDAD，VDCD ADC 是二面角 AVDC 的平面角ADC120， 又底面 ABCD 是菱形，DAB60，连 BD，ABD 是等边三角形，取 AB 的 中点 H，连 DH、VH，则 DHAB，由三垂线定理知 VHAB， VHD 是侧面 VAB 与底面所成角的平面角， VABVCB S全2SVAD2SVABS ABCD， 注：底面不是正方形的四棱锥，求侧面与底面所成的角，则需要利用空间线面关系作 出二面角的平面角，并证明它是二面角的平面角