高考数学 专题训练 圆锥曲线2 新人教A版

圆锥曲线21、(本小题满分13分) 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，）在椭圆上，。（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求OAB的面积的取值范围。解:（1）因为椭圆E: （ab0）过M（2，） ，2b=4故可求得b=2,a=2 椭圆E的方程为 2分（2）设P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为，解方程组得,即,则=,即（*） 要使,需使,即,所以, 即 7分将它代入（*）式可得，P到L的距离为，又将及韦达定理代入可得10分当时由 故12分当时, 当AB的斜率不存在时, ,综上S13分2（本小题满分12分）已知定圆圆心为A，动圆M过点，且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C（）求曲线C的方程；（）（理）若点为曲线C上一点，探究直线与曲线C是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由解：（） 圆A的圆心为， 1 分设动圆M的圆心为 2分由|AB|=，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1-r2，即|MA|+|MB|=4， 4分所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由故曲线C的方程为 6分（）当， 8分消去 10分由点为曲线C上一点，于是方程可以化简为 解得， 12分13分综上，直线l与曲线C存在唯一的一个交点，交点为 14分3、设F1、F2分别为椭圆C:1(a0,b0)的左、右两个焦点.(1) 若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPMKPN是与点P位置无关的定值. 试对双曲线1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解：(1)由题意得:2a4,a2则椭圆的方程为1 点A(1,)在椭圆C上, 1 b23所求椭圆方程为1(2)由(1)知椭圆C的左焦点为F1(1,0)设F1K的重点为M(x,y)，则K点的坐标为K(2x1,2y) K点在椭圆C上， 1即线段F1K的中点轨迹方程为(x1(3)若M、N是双曲线1上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM、PN的斜率KPM、KPN都存在时，KPMKPN是与点P位置无关的定值，其证明如下：设M(x1,y1),则N(x1,y1),设P(x,y)则KPMKPN (*)由M、P都在双曲线1上得y2 x2b2,y12 x12b2,将它们代入(*),可得KPMKPN 为定值故原结论成立4、已知椭圆的左、右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，证明:；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围（1）解：依题意可得，设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即所以双曲线的方程为 3分（2）证法1：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为，联立方程组5分整理，得，解得或所以 6分同理可得，所以 8分证法2：设点、（，），则， 4分因为，所以，即 5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，即，所以，即 7分所以 8分证法3：设点，直线的方程为，联立方程组5分整理，得，解得或 6分将代入，得，即所以 8分（3）解：设点、（，），则，因为，所以，即 9分因为点在双曲线上，则，所以，即因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以 10分因为， 所以 11分由（2）知，即设，则，设，则，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减因为，所以当，即时， 12分当，即时， 13分所以的取值范围为 14分5、设抛物线C的方程为x2 =4y，M为直线l：y=m(m0)上任意一点，过点M作抛物线C的两 条切线MA，MB，切点分别为A,B（）当M的坐标为（0，l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系； ()当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由，解：（）当M的坐标为时，设过M点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，.因为M到AB的中点(0，1)的距离为2，从而过三点的圆的标准方程为易知此圆与直线l：y=-1相切. （6分）（）设切点分别为、，直线l上的点为M，过抛物线上点的切线方程为，因为， ，从而过抛物线上点的切线方程为，又切线过点，所以得，即.同理可得过点的切线方程为，（8分）因为，且是方程的两实根，从而，所以，当，即时，直线上任意一点M均有MAMB，（10分）当，即m1时，MA与MB不垂直.综上所述，当m=1时，直线上存在无穷多个点M，使MAMB，当m1时，直线l上不存在满足条件的点M.（12分）6、已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；（2）求的值。（）解：由题意椭圆的离心率，所以， 所以8分 故 由，及，10分得，将代入上式得，13分注意到，得，14分所以为所求 15分7、 已知离心率为的椭圆过点，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于不同的两点。（1）求椭圆的方程。（2）证明：若直线的斜率分别为、，求证：+=0。解：（）设椭圆的方程为:由题意得: 椭圆方程为（）由直线,可设，将式子代入椭圆得: 设,则设直线、的斜率分别为、，则 下面只需证明：，事实上，。8、 设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点。（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标； （2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；（3）过点F（1，0）作直线l与（）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（1）中的点）的取值范围。解：（1）由题，得，设则由又在双曲线上，则 联立、，解得 由题意， 点T的坐标为（2，0） （2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得 由A2、Q、M三点共线，得 联立、，解得 在双曲线上，轨迹E的方程为 （3）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得 设 则由根与系数的关系，得 有将式平方除以式，得 由 又故令 ，即 而 ， 8、已知椭圆的左、右焦点为，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为（）求椭圆的方程；（）设直线是圆：上动点处的切线，与椭圆交与不同的两点，证明：的大小为定值解（）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以，可得，又因为的周长为，可得，所以，可得，所求椭圆的方程为 5分（）直线的方程为 ，且，记，联立方程，消去得， 8分，从而 是定值 13分9、已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与轴交于点（1）求证:，成等比数列；（2）设，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由解：（1）设直线的方程为：，联立方程可得得: 设，则， ，而，即，、成等比数列7分（2）由，得， ，即得：，则由（1）中代入得，故为定值且定值为13分10.已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点，的距离之和为，且其焦距为（）求椭圆的方程；（）已知直线与椭圆交于不同的两点，问是否存在以，为直径的圆过椭圆的右焦点若存在，求出的值；不存在，说明理由解：（）依题意可知 又，解得 （2分）则椭圆方程为（4分）（）联立方程 消去整理得：（6分）则，解得 （7分）设，则，又，若存在，则，即： 又代入有，解得或（11分）检验都满足，（12分）10、已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点若线段中点的横坐标为，求斜率的值；已知点，求证：为定值解：（1）因为满足， 2分，解得，则椭圆方程为4分（2）将代入中得6分， 7分因为中点的横坐标为，所以，解得 9分由（1）知，所以 11分12分14分11、已知点的坐标分别是，直线相交于点M，且它们的斜率之积为（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）解：（1）设点的坐标为， ， 整理，得（），这就是动点M的轨迹方程 4分（2）方法一 由题意知直线的斜率存在，设的方程为（） 将代入，得，由，解得设，则 令，则，即，即，且 由得，即且且解得且，且ODE与ODF面积之比的取值范围是12分方法二 由题意知直线的斜率存在，设的方程为 将代入，整理，得， 由，解得 设，则 令，且 将代入，得即 且，且即且解得且 ，且故ODE与ODF面积之比的取值范围是12分11、已知椭圆的离心率，过