线性代数课件第5章相似矩阵

课件,1,第5章相似矩阵,本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下内容：方阵的特征值与特征向量的定义及计算相似矩阵的定义与性质方阵的相似对角化向量的内积、长度正交和正交向量组与正交矩阵的概念施密特正交化方法用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法,课件,2,的特征值，非零列向量称为方阵,5.1方阵的特征值与特征向量,5.1.1方阵的特征值与特征向量,定义1设,是一个阶方阵,如果存在数及,维非零列向量,使得,那么,这样的数,称为方阵,的对应于(或属于)特征值的特征向量,课件,3,是方阵的特征值,是对应的特征向量,(此为个未知数个方程的齐次线性方程组),是方阵的特征值,是对应于的特征向量,是齐次线性方程组,的非零解,(右式称为的特征多项式,记为,称为特征方程),课件,4,(设),求方阵的特征值与特征向量的步骤,计算的特征多项式求出特征方程的所有根（重根按重数计算）：对每个特征值,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系,为对应于的全部特征向量.,不全为零),则,课件,5,例1求矩阵,的特征值与特征向量,解,所以,的特征值为,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,所以对应于,的全部特征向量为,课件,6,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,所以对应于,的全部特征向量为,课件,7,例3求矩阵,的特征值与特征向量,解,所以,有2重特征值,，有单特征值,对于特征值,，解方程,，,得同解方程组,故得通解,所以,对应于特征值,的全部特征向量为,由,课件,8,对于特征值,，解方程,.由,得同解方程组,故得通解,对应于特征值,的全部特征向量为,课件,9,重特征值算作,阶方阵,是可逆方阵,5.1.2特征值的性质,性质1若,的全部特征值为,（,个特征值）则：,性质2设,的一个特征值，,为对应的特征,是,的一个特征值，,为对应,向量,且,则,特征向量;,课件,10,是方阵,性质3设,的一个特征值，,为对应的特征,是,的一个特征值，,为对应特征向量;,向量,则,是一个正整数,是方阵,性质4设,的一个特征值，,为对应的特征,是,的一个特征值，,为对应特征向量;,向量,若,则,课件,11,的特征值都不为零，知,可逆，故,例5设3阶矩阵的特征值为,求,解因为,.而,所以,把上式记作,，则,故,的特征值为：,于是,课件,12,的互不相同的特征值，,5.1.3特征向量的性质,是方阵,性质1设,的一个特征值，,为对应的特征,向量,若又有数,，则,性质2设,是方阵,是对应于,的特征向量,则向量组,即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关,线性无关,课件,13,的相似矩阵，或称方阵,5.2相似矩阵,定义2设,都是,阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称,是,与,相似，记作,，有,，从而,即,如,5.2.1相似矩阵的概念,课件,14,的对应于,与,的某个特征值，若,是,5.2.2相似矩阵的性质,性质1,（因为,性质2若,则,性质3若,则,性质4相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征值都相同；,性质5设,是,是,的特征向量，则,的对应于,的特征向量,课件,15,（3）可以证明，对应于的每一个重特征值若正好有个线性无关的特征向量,即则必有个线性无关的特征向量，从而一定可以对角化,定理1阶方阵与对角矩阵相似（即能对角化）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量,推论（能对角化的充分条件）如果阶方阵的个特征值互不相等，则与对角矩阵相似,注意（1）推论的逆命题未必成立,（2）当有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而不一定能对角化,课件,16,的特征多项式为,例8判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化,解（1）,的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以可以对角化,课件,17,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,令,则,课件,18,的特征多项式为,（2）,因此,的特征值为1，1，3,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,课件,19,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,有三个线性无关的特征向量，所以可以对角化,令,则,课件,20,5.3向量的内积、正交化方法,5.3.1向量的内积,定义3设有,维向量,令,称其为,与,的内积,向量的内积具有下列性质（其中,都是列向量，,为实数）：,性质1,性质2,性质3,性质4,当,课件,21,5.3.2向量的长度,定义4设有,维向量,令,称为,维向量,的长度（或范数）,当,=1时，称,为单位向量,向量的长度具有下列性质：,性质1非负性：当,时,性质2齐次性：,为实数),性质3三角不等式：,课件,22,的夹角,当,时，,称为,维向量,与,当,记,称非零向量单位化.,当,时，称向量,与,显然，零向量与任何向量都正交,正交,课件,23,5.3.3正交向量组,定义5一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组,设是正交向量组，则,若,两两正交且都为单位向量，则称,为单位正交向量组记作,课件,24,正交向量组有下列性质：,性质1若,是正交向量组,则,线性无关.,性质2设,为标准正交向量组，,的任一向量，若存在数,为同维数,使,则,课件,25,5.3.4正交化方法,找到与线性无关向量组等价的单位正交向量组的方法如下：,设,为一线性无关向量组,（1）正交化：,取,依次类推，一般的，有,可以证明,两两正交,且,与,等价,课件,26,（2）规范化：,令,则为单位正交向量组，且,与,等价,上述从线性无关向量组导出等价正交向量组的方法称为施密特（Schimidt）正交化过程它不仅满足,与,等价,，还满足对任何实数,与,等价,课件,27,例13已知,求一组非零向量,使,两两正交,解,应该满足,即,其同解方程组为,它的通解为,一基础解系为,课件,28,把基础解系正交化，即为所求取,于是得,即为所求.,课件,29,5.3.5正交矩阵,定义6如果,阶矩阵,满足,那么称,为正交矩阵，简称正交阵,例如,都是正交矩阵,课件,30,为正交阵，那么,正交矩阵有下列性质：,性质1若,是可逆阵,且,或;,为正交阵，那么,性质2若,是正交阵;,为正交阵,性质3,性质4若,为同阶正交矩阵,则,也是正交矩阵,课件,31,是,5.4实对称矩阵的相似矩阵,5.4.1实对称矩阵的性质,性质1实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为实向量；,性质2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交；,性质3设,阶实对称矩阵,是,的,则齐次线性方程组,重特征根,的系数矩阵的秩,从而,的对应于特征值,性无关的特征向量恰有,的线,个.,课件,32,是,定理2设,阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,使,其中,为对角矩阵,且,元素是矩阵,对角线上的,的,个特征值.,5.4.2实对称矩阵的相似对角形,根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似,课件,33,寻找正交矩阵,使,成为对角阵的步骤如下：,1根据特征方程,求出矩阵,的特征值,的所有不同,及它们的重数,2对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系,3利用施密特正交化方法，把向量组,正交单位化得单位正交向量组,从而得到,个两两正交的单位特征向量组:,课件,34,的,个,4令,则,为正交矩阵,且,为对角矩阵，且,对角线上的元素含,恰好是矩阵,个特征值.其中,的主对角元素,的重数为,顺序与,并且排列,排列顺序相对应,中正交向量组的,课件,35,例14设,求一个正交矩阵,使,为对角矩阵,解由,得,的特征值为,对应于,解方程,由,课件,36,得同解方程组,通解为,一基础解系为,单位化得,对应于