2020版高中数学 第4章章末练习（无答案）新人教A版必修2

第4章章末练习 一、选择题1.圆心在x轴上,半径为3,且过点(-1,3)的圆的方程为().A.x2+(y+1)2=3B.(x+1)2+y2=3C.x2+(y+1)2=9D.(x+1)2+y2=9【解析】 设圆心坐标为(a,0),则由题意知=3,解得a=-1,故圆的方程为(x+1)2+y2=9.【答案】D2.圆(x+2)2+(y-4)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为().A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)2=4【解析】圆心(-2,4)关于直线的对称点为(-4,6),又因为圆的半径不变,圆的方程为:(x+4)2+(y-6)2=4.【答案】B3.过点(0,6)且与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切的直线的方程为().A.12x-5y+30=0B.12x+5y-30=0C.x=0或12x+5y-30=0D.x=0或12x-5y+30=0【解析】 设过点(0,6)的直线的斜率为k,则直线方程为kx-y+6=0,因为直线与圆相切,所以=1,即k=-,则直线方程为12x+5y-30=0.又因y轴也与圆相切,故选C.【答案】C4.已知M(-2,1),N(2,3), 则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是().A.x2+(y-2)2=5B.x2+(y-2)2=15C.x2+(y-2)2=5(x2y-4)D.x2+(y-2)2=15(x2y-4)【解析】设P(x,y),RtPMN中MN2=PM2+PN2,代入整理得:x2+(y-2)2=5,又因为P,M,N三点构成三角形,三点不能共线,故x2y-4.【答案】C5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为().A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】由已知得C点坐标为(-1,2),又圆C的半径为,所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化成一般形式为 x2+y2+2x-4y=0.【答案】C6.已知点P(a,b)在圆C:x2+y2=4内,则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是().A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定【解析】 点P(a,b)在圆x2+y2=4内,a2+b2,2.直线与圆C位置关系不能确定.【答案】D7.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有().A.2条B.3条C.4条D.以上均错【解析】 将圆的方程化为标准方程分别为:圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1,圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16,即圆C1:圆心(-2,2),半径r1=1,圆C2:圆心(2,5),半径r2=4,|C1C2|=5=r1+r2,C1与C2外切,公切线有3条.【答案】B8.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,则一束光线从点A经x轴反射到圆周C上的最短路程为().A.6-2B.8C.4D.10【解析】 点A关于x轴的对称点为A(-1,-1),A与圆心(5,7)的距离为=10.所以所求最短路程为10-2=8.【答案】B9.若圆心在y轴上、半径为的圆C位于x轴下侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程为().A.(x-)2+y2=5B.(x+)2+y2=5C.x2+(y-)2=5D.x2+(y+)2=5【解析】 设圆心为(0,a)(a0)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为().A.3B.C.2D.2【解析】 由圆的方程得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径为r=1,如下图所示四边形的面积S=2SPBC,所以若四边形PACB的最小面积是2,则SPBC的最小值为1,而SPBC=r|PB|,即|PB|的最小值为2,此时|PC|最小且为圆心到直线的距离,即d=,即k2=4,因为k0,所以k=2,选D.【答案】D11.若集合A=(x,y)|y=,B=(x,y)|y=x+b,当AB时,则b的取值范围是().A.-3,3B.-3,3C.-3,3D.-3,3【解析】 y=可化为x2+y2=9(y0),依题意直线y=x+b与半圆x2+y2=9(y0)有交点,如图,-3b3.故选B.【答案】B12.已知直线+=1(a、b是非零常数)与圆x2+y2=100有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有().A.60条B.66条C.72条D.78条【解析】 在第一象限内圆x2+y2=100上的整数点只有(6,8),(8,6),又点(10,0),(0,10)在圆上,由对称性知x2+y2=100上横、纵坐标均为整数的点共有12个:(6,8),(8,6),(6,-8),(-8,6),(-6,8),(8,-6),(-6,-8),(-8,-6),(10,0),(0,10),(-10,0),(0,-10).过这12个点的圆x2+y2=100的切线有12条,割线有=66条,共78条.其中垂直于坐标轴的有14条,过原点与坐标轴不垂直的有4条,共有78-18=60条.【答案】A二、填空题13.昨夜狂风大作,暴雨滂沱,公园里一棵大树被刮断,直立部分高约1米,倒地部分长约7米.请你以此为背景建立恰当的坐标系,写出这个直角三角形的外接圆的一个方程:.【解析】 建立如图所示的坐标系,O(0,0),A(0,1),B(7,0),设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得 所以这个直角三角形的外接圆的一个方程x2+y2-7x-y=0.【答案】 x2+y2-7x-y=0(答案不唯一)14.在z轴上求一点A使它到点B(1,1,2)与点C(1,3,-2)的距离相等,则A点坐标为 .【解析】设A(0,0,z),则有|AB|=|AC|,即2+(z-2)2=10+(z+2)2,解得z=-1.【答案】(0,0,-1)15.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆,则实数m的取值范围为;该圆半径r的取值范围是.【解析】 将圆方程配方得:(x-m-3)2+(y-4m2+1)2=-7m2+6m+1,由-7m2+6m+10,得m的取值范围是-m1;由于r=,0r.【答案】(-,1)(0,)16.如图,A,B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B点,C是这两个圆的公共点,则圆弧AC,CB与线段AB围成图形面积S的最大值是. 【解析】当两圆相外切时,面积最大,S=21-2=2-.【答案】2-三、解答题17.已知圆C经过A(5,2)、B(-1,4)两点,圆心在x轴上,求圆C的方程.【解析】 设圆心坐标为C(a,0),则AC=BC,即=,解得a=1,所以半径r=2,所以圆C的方程是(x-1)2+y2=20.18.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心做一个圆,使ABC三点中一点在圆外,一点在圆内,一点在圆上,求此圆的标准方程.【解析】 由已知可得:PA=,PB=,PC=.PC最大,PA最小,以点P为圆心作圆,使得点A在圆内,点B在圆上,点C在圆外.圆的半径为,圆的标准方程为:(x-2)2+(y+1)2=13.19.一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.(1)求反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;(2)求在x轴上,反射点M的横坐标的取值范围.【解析】 圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2,-2),过点A,C的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.(2)A关于x轴的对称点为A(-3,-3),设过点A的直线为y+3=k(x+3).当该直线与圆C相切时,有=1,解得k=或k=,所以过点A的圆C的两条切线分别为y+3=(x+3),y+3=(x+3).令y=0,得x1=-,x2=1,所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是-,1.20.已知圆C1:x2+y2=2和圆C2,直线l与圆C1相切于点(1,1);圆C2的圆心在射线2x-y=0(x0)上,圆C2过原点,且被直线l截得的弦长为4.(1)求直线l的方程;(2)求圆C2的方程.【解析】 (1)(法一)点(1,1)在圆C1:x2+y2=2上,直线l的方程为x+y=2,即x+y-2=0.(法二)当直线l垂直x轴时,不符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0.则圆心C1(0,0)到直线l的距离d=r=,即=,解得k=-1,直线l的方程为x+y-2=0. (2)设圆C2的方程为:(x-a)2+(y-2a)2=r2(a0).圆C2过原点,5a2=r2, 圆C2的方程为(x-a)2+(y-2a)2=5a2(a0).圆C2被直线l截得的弦长为4,圆心C2(a,2a)到直线l:x+y-2=0的距离d=.整理得:a2+12a-28=0,解得a=2或a=-14.a0,a=2,圆C2的方程为:(x-2)2+(y-4)2=20.21.某城市规划交通,拟在半径为50 m的高架圆形道东侧某处开一个出口,以与圆形道相切的方式,引伸一条直道接到距圆形道圆心正北150 m处的道路上.试建立适当的坐标系,写出引伸直道的方程,并计算出口应开在圆形道的何处?【解析】 以圆形道圆心O为原点,正北方向为y轴正向,建立如图直角坐标系,则圆形道的方程为x2+y2=502,引伸直道与北向道路的交接点C的坐标为(0,150),设出口开在圆形道的点P处,问题的几何表述是:在点C处引圆O的切线,求切点P的坐标,设点P坐标为(x0,y0),因为点P是PC与圆O的切点,则PC方程可以表示为x0x+y0y=502,因为点C在PC上,以其坐标(0,150)代入得150y0=2500,解得y0=,因为P在圆O上,以其坐标(x0,y0)代入圆方程,又得+()2=502,x0=,据实际问题,因为点P在圆心O的东侧,故应取x0=,所以引伸直道在所建坐标系中的方程为(2x+y)=502,即2x+y-150=0,出口点P在所建坐标系中的坐标为(,).22.已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-2)2+(y-4)2=1,由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA、PB,切点分别为A、B,如图,满足|PA|=|PB|.(1)求实数a、b间满足的等量关系;(2)求切线长|PA|的最小值;(3)是否存在以P为圆心的圆,使它与圆O相内切并且与圆C相外切?若存在,求出圆P的方程;若不存在,说明理由.【解析】 (1)如图连接PO、PC,|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1,|PO|2=|PC|2,从而a2+b2=(a-2)2+(b-4)2,化简得实数a、b间满足的等量关系为:a+2b-5=0.(2)由a+2b-5=0,得a=-2b+5,|PA|=.当b=2时,|PA|min=2.(3)不存在.圆O和圆C的半径均为1,若存在半径为R的圆P,与圆O相内切并且与圆C相外切,则有|PO|=R-1且|PC|=R+1.于是有:|PC|-|PO|=2,即|PC|=|PO|+2,从而得=+2,两边平方,整理得=4-(a+2b),将a+2b=5代入上式得:=-10,故满足条件的实数a、b不存在,不存在符合题设条件的圆P.必修2模块测试评估卷一、选择题1.如图所示,甲、乙、丙是三个几何体的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是().长方体 圆锥三棱锥圆柱A.B.C.D.【解析】 由这三个几何体的三视图可以判断出选A.【答案】A2.已知A(1,2),B(k,1),C(3,-2)三点共线,则k的值为().A.-B.C.D.-【解析】 因为A(1,2),B(k,1),C(3,-2)三点共线,所以kAB=kAC,即=,所以k=.【答案】C3.充满氢气的球形飞艇可以供游客旅行,现有一飞艇若要它的半径扩大为原来的2倍,那么它的体积应增大到原来的() .A.2倍B.8倍C.4倍 D.倍【解析】 由于球的体积公式为V=R3,半径扩大2倍,则体积扩大到原来的8倍,故选B.【答案】B4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k的值等于().A. 2B. C.-2D.-【解析】 解方程组 代入x+ky=0得k=-,选D.【答案】D5.已知下列命题:若直线l上有无数个点不在平面内,则l.若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行.如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行.若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.其中正确的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】 借助长方体模型分析,如图:A1A上有无数个点在平面ABCD外,但AA1与平面ABCD相交,不正确;A1B1平面ABCD,显然A1B1不平行于BD,不正确;A1B1AB,A1B1平面ABCD,但AB平面ABCD,不正确;l与平面平行,则l与平面无公共点,即l与平面内的所有直线都没有公共点,所以正确.应选B.【答案】B6.经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程为().A.x2+y2-8x+6y=0B.x2+y2-8x-6y=0 C.x2+y2+8x+6y=0D.x2+y2+8x-6y=0【解析】 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(也可设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2,但运算较繁),将三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)代入圆的方程得解得D=-8,E=6,F=0,故选A项.也可将三个点分别代入各选项,只有A满足.【答案】A7.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是().A.B.C.D.【解析】 截去的每个小三棱锥的体积为=()4,则剩余部分体积V=1-()48=1-=.【答案】D8.经过圆x2+2x+y2=0的圆心G,且与直线x+y=0垂直的直线方程是().A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x+y-1=0D.x+y+1=0【解析】由已知得k=1,且直线过圆心G(-1,0),故直线方程为y=x+1,即x-y+1=0,故选A.【答案】A9.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的点P(x,y)的轨迹方程为().A.(x-1)2+4y2=1B.(x-1)2-4y2=1C.(x-1)2+y2=1D.(x-1)2-y2=1【解析】 由定义运算可知=(x-1)2-1+4y2=0,即(x-1)2+4y2=1,故选A.【答案】A10.圆心为C(1,-2),半径为r=2的圆在x轴上截得的弦长为().A.8B.6C.6D.4【解析】 如图,CD=2,CB=2BD=4AB=8,故选A.【答案】A11.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的四个顶点所在球的体积为().A.B.C.D.【解析】 连接矩形ABCD的对角线AC、BD交于O,则AO=BO=CO=DO,翻折后仍然AO=BO=CO=DO,则O为四面体ABCD四个顶点所在球的圆心,因此四面体ABCD四个顶点所在球的半径为,故球的体积为()3=.选C.【答案】C12.已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形().A.是锐角三角形B.是直角三角形 C.是钝角三角形D.不存在【解析】由题意知圆心坐标为(0,0),半径为1,因为直线和圆相切,利用点到直线距离公式得:d=1,即a2+b2=c2,所以,以|a|、|b|、|c|为边的三角形是直角三角形.选B.【答案】B二、填空题13.点P(1,2,3)关于Oz轴的对称点的坐标为.【解析】 空间一点关于某坐标轴对称点的求法:点M(x,y,z)关于Oz轴的对称点的坐标为M(-x,-y,z),也可以借助图形,抓住对称特点来求,所以答案是(-1,-2,3).【答案】(-1,-2,3)14.点M(3,4)到圆x2+y2=1上一点的最大值等于,最小值等于.【解析】 设圆心为O,半径r=1,则点M(3,4)到圆x2+y2=1上一点的最大值dmax=|OM|+r,即dmax=+1=6;点M(3,4)到圆x2+y2=1上一点的最小值dmin=|OM|-r=4 .【答案】6415.已知圆柱的高为h,底面半径为R,轴截面为矩形A1ABB1,在母线AA1上有一点P,且PA=a,在母线BB1上取一点Q,使B1Q=b,则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为.【解析】 如图甲,沿圆柱的母线AA1剪开得矩形(如图乙),过点P作PEAB交BB1于点E,则PE=AB=2R=R,QE=h-a-b.PQ=.【答案】16.如图,点S在平面ABC外,SBAC,SB=AC=2,E、F分别是SC和AB的中点,则EF的长等于.【解析】 取SA的中点H,连接EH、FH.因为SBAC,则EHFH,在EFH中,应用勾股定理得EF=.【答案】三、解答题17.已知两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点为P,求满足下列条件的直线方程:(1)过点P且过原点的直线方程;(2)过点P且垂直于直线l3:x-2y-1=0的直线l的方程.【解析】 由 解得 点P的坐标是(-2,2).(1)所求直线方程为y=-x.(2)所求直线l与l3垂直,设直线l的方程为 2x+y+C=0,把点P的坐标代入得 2(-2)+2+C=0 ,解得C=2.所求直线l的方程为 2x+y+2=0.18.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说