2018年奥林匹克数学竞赛第8讲 一次函数的图象与性质

奥林匹克数学竞赛第8讲一次函数的图象与性质考点方法破译1一次函数及图象形如YKXB（K，B为常数，且K0），则Y叫做X的一次函数，当B0，K0时，Y叫做X的正比例函数正比例函数YKX（K0）的图象是经过（0,0），（1，K）两点的直线，一次函数YKXB（K0）是经过（0，B）、（，0）两点的直线K2一次函数的性质当K0时，Y随自变量X的增大而增大；当K0时，Y随X的增大而减小3函数YKXB中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性经典考题赏析【例】（山东）函数YAXB和YBXA（AB0）在同一坐标系中的图象可能是（）【解法指导】A中A0，B0，B0，A0矛盾B中A0，B0，矛盾C中A0，B0B0，A0矛盾D中A0，B0B0，A0，故选D【变式题组】01（河北）如图所示的计算程序中，Y与X之间的函数关系所对应的图象应为（）02（安徽）已知函数YKXB的图象如左图，则Y2KXB的图象可能是（）03下列图象中，表示一次函数YMXN与正比例函数YMNX（M、N为常数，则MN0）的图象是（）【例】（绍兴）如图，一次函数YX5的图象经过点PA，B和Q（C，D）则A（CD）B（CD）的值为_【解法指导】因为点PA，B,Q（C，D）在一次函数图象上，BA5，DC5AB5，CD5，A（CD）B（CD）（CD）（AB）（5）（5）25【变式题组】01如图一条直线L经过不同三点A（A，B）,B（B，A）C（AB，BA）则直线L经过（）A第二、四象限B第一、三象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限02（南京市八年级竞赛试题）已知三点A2,3,B（5,4）C4,1依次连接这三点，则（）A构成等边三角形B构成直角三角形C构成锐角三角形D三点在同一条直线上03（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数YAXB的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则A的值为_【例】如图，已知正方形ABCD的顶点坐标为A1,1、B3,1、C3,3、D1,3,直线Y2XB交AB于点E，交CD于点F直线与Y轴的交点为（0，B），则B的变化范围是_【解法指导】直线Y2XB是平行于直线Y2X的直线，当直线经过B点时，B最小，当X3时，Y1123B，B5当直线经过D点时，B最大，所以当X1时，Y3321B，B15B1【变式题组】01线段YXA（1B3），当A的值由1增加到2时，该线段运动所经过的平面2区域的面积为（）A6B8C9D1002（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P（1,1），Q2,2，函数YKX1的图象与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数K的取值范围是_03（济南）阅读下面的材料在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义设一次函数YK1XB1（K10）的图象为直线L1，一次函数YK2XB2（K20）的图象为直线L2，若K1K2，且B1B2，我们就称直线L1与直线L2平行解答下面的问题求过点P（1,4）且与已知直线Y2X1平行的直线L的函数表达式，并画出直线L的图象；设直线L分别与Y轴、X轴交于点A、B，如果直线MYKXT（T0）与直线平行且交于X轴于点C，求出ABC的面积S关于T的函数关系式【例】已知一次函数YKXB，当自变量取值范围是2X6时，函数值的取值范围5Y9求此函数的解析式【解法指导】当K0，Y随X的增大而增大，YKXB经过（2,5），（6,9）两点，YX39652BK1当K0，Y随X的增大而减小，YKXB经过（2,9），（6,5）两点，YX1151K所求解析式为YX3或YX11【变式题组】01已知一次函数YKXB，当3X1时，对应Y的值为1Y9，则KB的值为（）A4B6C4或21D6或1402（遂宁）已知整数X满足5X5，Y1X1，Y22X4，对任意一个X，M都取Y1,、Y2中的最小值，则M的最大值是（）A1B2C24D9【例】如图，直线Y5X5与X轴交于A，与Y轴交于B，直线YKXB与X轴交于C，与Y轴交于B点，CDAB交Y轴于E若CEAB,求直线BC的解析式【解法指导】由CEAB，CDAB可得AOBEOC,因而OBOC而Y5X5与Y轴交于BB0，5C5,0,而直线BC经过（0，5），（5,0）可求得解析式YX5【变式题组】01如图，在平面直角坐标系中，点P（X，Y）是直线YX6第一象限上的点，点A5,0,O是坐标原点，PAO的面积S求S与X的函数关系式，并写出X的取值范围；探究当P点运动到什么位置时PAO的面积为1002如图，直线LYX2与X轴、Y轴分别交于A、B两点，在Y轴上有一点1C（0,4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿X轴向左移动求A、B两点的坐标；求COM的面积S与M的移动时间T之间的函数关系式；当T为何值时，COMAOB，并求此时M点的坐标03如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线YKXB经过A（0,2）、B4,2两点求直线AB的解析式；点C的坐标为（0,1），过点C作CDAO交AB于DX轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成的三角形与ACD全等，这样的三角形有_个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图【例】如图，已知直线YX2与X轴、Y轴分别交于点A和点B另一条直线YKXB（K0）经过（1，0），且把AOB分成两部分若AOB被分成的两部分面积相等，求K和B的值；若AOB被分成的两部分的面积比为15,求K和B的值【解法指导】欲求K和B的值，需知道直线YKXB（K0）经过两已知点，而点C（1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可解由题意得（2，0）、B0，2，C为OA的中点，因而直线YKXB过OA中点且平分AOB的面积时只可能韦中线BCYKXB经过C（1，0），（0，2）K2B2X0设YKXB与OB交于M（0，T）则有SOMCSCAN,MNX轴，N,342直线YKXB经过,，（1，0）3420324BKK【变式题组】01如图，在平面直角坐标系XOY，已知直线AC的解析式为YX2，直线AC交X1轴于点C，交于Y轴于点A若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；过点B作X轴的垂线L，在L上是否存一点P，使得AOP的周长最小若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标02（浙江杭州）已知，直线Y与X轴、Y轴分别交于点A、B,以线段AB为13直角边的第一象限内作等腰RTABC,，且点P（1,A）为坐标系中的90BAC一个动点求三角形ABC的面积SABC证明不论A取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；要使得ABC和ABP的面积相等，求实数A的值演练巩固反馈提高01（芜湖）关于X的一次函数YKXK21的图象可能正确的是（）02一次函数YKXB和正比例函数YKBX在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03一次函数Y（M1）XM22的图象与Y轴的交点的纵坐标是3，则M的值是（）ABC1D2504直线Y1KXB过第一、二、四象限，则直线Y2BXK不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限05已知一次函数Y（12M）XM2，函数Y随着X的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则M的取值范围是（）AMBM2CM2DM2106如图，点A、B、C、D在一次函数Y2XM的图象上，它们的横坐标依次为1，1，2，分别过这些点作X轴与Y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A1B3C3M1D（M2）307（绍兴）如图，在X轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5分别过这些点作X轴的垂线与三条直线YAX，Y（A1）X，Y（A2）X相交，其中A0，则图中阴影部分的面积是（）A125B25C125AD25A08（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC1，动点P从点B出发，沿路线BCD作匀速运动，那么ABP的面积S与点P运动的路程X之间的函数图象大致是（）09（日照）如图，点A的坐标为（1,0）,点B在直线YX上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A（0，0）B（，）C（，）D（，）221210（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征甲它的图象经过第一象限；乙它的图象经过第二象限；丙在第一象限内函数值Y随X增大而增大在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_11观察下列各直角坐标系中的直线AB，点P（X，Y）是线段AB上的点，且X、Y都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题第5个图中满足条件的点P个数是_第N个图中满足条件的点P个数M与N之间的关系是_12（十堰）直线YKXB经过点A2,0和Y轴上的一点B，如果ABO（O为坐标原点）的面积为2，则B的值为_13如图，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线YXB恰好平分长方形的面积，则B_14如图，点B、C分别在两条直线Y2X和YKX上，点A、D是X轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则K_15（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如图所示的方式放置点A1,A2,A3,和C1,C2，C3,分别在直线YKXBK0和X轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则BN的坐标是_16点P为直线Y3X6上的一点，且点P到两坐标轴距离相等，则P点坐标为_17已知直线Y1X，Y2X1，Y3X5的图象如图所示，若无论X取何值，Y总4取Y1、Y2、Y3中最小的值，则Y的最大值为_18已知一次函数YKXB的图象经过点P0,3,且与函数YX1的图象相交于点2A（）A,8求A的值；若函数YKXB的图象与X轴的交点是B,函数YX1的图象与Y轴的交2点是C,求四边形ABOC的面积其中O为坐标原点19定义为一次函数YPXQ的特征数QP,求一次函数Y2（X1）的特征数；若特征数是的一次函数为正比例函数，求K的值,K20已知三点AA，1、B3,1、C6,0，点A在正比例函数YX的图象上21求A的值；点P为X轴上一动点，当OAP与CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；21已知直线LNYX（N是正整数）当N1时，直线L1Y2X1与X轴1和Y轴分别交于点A1和B1设A1OB1O是平面直角坐标系的原点的面积为S1当N2时，直线L2Y与X轴和Y轴分别交于点A2和B2，设A2OB2的面积23为S2，依次类推，直线LN与X轴和Y轴分别交于点AN和BN，设ANOBN的面积为SN求A1OB1的面积S1；求S1S2S3S2010的值22（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（X，Y）从M（1，0）出发，沿由A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图）按一定方向运动图是P点运动的路程S（个单位）与运动时间T（秒）之间的函数图象，图是P点的纵坐标Y与P点运动的路程S之间的函数图象的一部分S与T之间的函数关系式是_；2）与图相对应的P点的运动路径是_；P点出发_秒首次到达点B；写出当3S8时，Y与S之间的函数关系式，并在图中补全函数图象培优升级奥赛检测01已知ABC0，且T，则直线YTXT一定通过（）BACCBAA第一、二象限B第二、三象限C第三、四象限D第一、四象限02一个一次函数的图象与直线Y平行，与X轴、Y轴的交点分别为A、B，并X459且过点1,25,则在线段AB上（包括端点A、B）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）A4个B5个C6个D7个03在一次函数YX3的图象上取点P，作PAX轴，PBY轴，垂足分别为A、B，长方形OAPB的面积为2，则这样的点P共有（）A4个B3个C2个D1个04在直角坐标系中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，若MPMQ取最小值，则点M的坐标为_05已知点A（0，2）、B4,0，点C、D分别在直线X1与X2上运动，且CDX轴，当ACCDDB的值最小值，点C的坐标为_06在直角坐标系中，有两个点A8,3、B（4，5）以及动点C（0，N）、D（M，0）当四边形ABCD的周长最短时，的值为_NM07已知函数Y（