《圆的方程》典型教学设计研究.docx

圆的方程典型教学设计研究包头市田家炳中学 数学学科 沈 阳 证书编号：010879 联系电话：【课程分析】 圆的方程安排在全日制普通高级中学教科书数学（必修）（人教版）第二册（上）第七章第六节。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用，为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础，无论在知识上还是方法上都有着积极的作用和意义，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，而且在许多实际问题中也有着广泛的应用。由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程、一般方程的要求层次是“掌握”； 结合本节的内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法，同时对学生的观察类比、创新等多种能力的培养也十分有利。在运用多种方法求圆的方程中，可培养学生大胆探索创新的精神；通过知识的实际运用和采用多媒体手段，培养学生学习数学的兴趣，同时让学生体会到数学是有用的，数学知识在生活当中到处可见，数学的学习是必要的；而一些曲线上动点的变化，和方程形式，解法的多样更显示出数学知识的灵活多变和广泛应用。依照大纲要求，本节分为三个课时进行学习，这是第一课时的教学设计，本课时学习圆的标准方程。 学情分析：圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的, 圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度也较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。从教学的对象来看，我班的学生都是些比较普通的学生，学生基础知识掌握的相对比较弱，学习习惯差，在课堂上要重视培养学生审题，解题的习惯，特别是本学期平面解析几何中，要求解题的工整，规范，要给学生一个良好的示范作用，结合这些实际情况，教学的要求要适当放低一些。从学生的心理特点看，他们的心理特征比他们的实际年龄偏小，各种学习习惯、思维方式多保留着初级阶段的特点，虽然思维活跃、敏捷、但表达和展示自己的想法时不够完整、准确，考虑问题还不够周密、严谨、深刻。设计思路：在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。设计的根本出发点是促进学生的发展。倡导“自主、合作、探究”的学习理念，教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同探究，共同提高。“诱思探究”教学论中充论证了这一点，学生是学习和发展的主体，教师是学习活动的引导者，所以在学习和教学中注重让学生自己动手，想办法，解决问题。根据诱思探究学科教学论坚持“教师为引导，学生为主体，体验为红线，思维为主攻”的理念，将达标过程、情意过程和行为过程三个子机制贯穿于学生的整个过程，并采用实际问题情境导入，教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。本节课是按“探究性学习方式”的三个认知层次设计学生的学习过程：即“温故引新，以景激情”；“ 探究新知，掌握规律”；“迁移拓展，深化认识” ，在每个认知层次中设计了一环套一环的学习活动。一、温故引新，以景激情，是为使用五步法推导圆的标准方程作准备，在这个过程中，用课件投影导向信息引导学生“阅读课本”、“相互讨论”等诱导学生完成学习任务，并用生活中的实际例子设置问题情境，激发学生的学习兴趣。二、探究新知、掌握规律，是在学习旧知的基础上亲自实践，自己动手，自主合作探究新知识。每项教学措施，都是给学生创造一种探究情境，体验性学习，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，创设良好的学习氛围，宽松的学习环境，全身心投入自主、合作、探究的学习过程，激发学生的求知欲，促使学生主动去解决问题。三、迁移拓展，深化认识是运用新知解决实际问题的过程，在这里设计了一题多解的练习题，启发学生的解题思路，发散学生的思维，学生可以交流合作，探讨解题思路，并投影学生的解题过程，展示自己的作业，最后教师点评，精讲，规范学生的解题过程。 在教学过程中使用了多媒体，借助多媒体课件，使抽象的问题更加形象、直观，利用实物照片，实物投影等，激发了学生的学习兴趣，同时也提高了课堂效率；把学生的解题思路、方案当堂展示，便于进行讨论和点评，不断优化学习方案，规范学生的解题过程。学习目标：1.能用五步法推导圆的标准方程，能掌握圆的标准方程的特点，能根据已知条件准确地写出圆的标准方程。能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。2.能根据不同条件，利用待定系数法求圆的标准方程。3.利用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践。教学流程：一、温故引新，以景激情（一）情境导入，感知实例【课件投影】（请独立思考下列问题，可在小组内讨论后，请举手自由发言。）请观察下列图片，它们有什么共同特点？ P2 PABA1A2A3A4O如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该拱跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一个支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01米） （用以前学过的知识你能解决这个问题吗？）（设计意图：张教授说“任何心理活动都与情境有关”，用实际问题创设问题情境，利用学生对实际问题有很高的积极性的特点，以实际问题引入课题。触境导入，点燃思维火花，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望。这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。通过对问题的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用五步法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节。）（简要实录：整个班级鸦雀无声，从学生渴望的表情中可以看出，学生不能回答此问题，感到疑惑，并激发起学生的求知欲望。）(二)以旧引新，奠定基础【课件投影】（ 请同学用3分钟时间回忆以下几个问题，认真思考。若回忆不出来，同学之间可以相互议论，也可以请阅读课本有关内容，然后举手发言。）问题1：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？问题2：圆的几何定义是什么？问题3：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？ （设计意图：“温故而知新”，复习旧知，创设情境，让学生通过讨论或自己看书解决，培养学生自学能力，为推导圆的标准方程打下良好的基础。）（简要实录：对以上三问题比较简单，从课堂的反映来看，大部分同学都能解决，个别同学有部分疑问，他们可以通过课本或同学间的讨论解决。）（下面用求曲线方程的一般步骤来推导圆的标准方程）二、探究新知，掌握规律(一)【课件投影】（请独立思考下列问题，如遇到问题可以请教其他同学。）根据五步法推导圆的标准方程，（设计意图：巩固求曲线方程的一般步骤，问题的过程往往比问题的结论更重要，自己得出的结论比别人告诉的更容易记住，而且记得会更牢固。）（简要实录：当建系设点时，有的学生以圆心为原点建立直角坐标系，有些学生的原点不在圆心建立坐标系，教师指出这两种建系的方法都是正确的，原点在圆心是特殊情况，现在仅就一般情况推导。）_r_M_C(a,b)_x_O_y例如：求圆心在，半径为的圆的方程。(二)【课件投影】完成后的同学，请阅读课本82页例1前的内容，认真思考后，可以相互讨论，本组内不能解决的可以请教其他组的同学。（设计意图：“以体验为红线，思维为主攻”，以分析促达成，达成中分享收获的喜悦。既培养学生自已动手能力，发现问题解决问题的能力，也养成自主学习的好习惯。）（简要实录：通过自己的推导和教材比较发现成功和不足，部分学生有问题，通过学生之间的交流讨论（四个一组）也都能解决，教师参与到学生中间，帮助个别有困难的学生。）（三）【课件投影】（请大家认真思考下列问题后，请举手发表你的看法。请其他同学认真听取，后面发言的同学不要重复前面的意见，但可以补充、完善。）圆的标准方程：有什么特点？（设计意图：通过看书学习和自己的总结得出结论，因为自己总结的经验和得出的结论，有利于记忆，更有利于学生学习和应用。）（简要实录：苗海燕说：“圆的标准方程由圆心和半径确定，如果指导圆心和半径就能求出元的标准方程。”徐胜博说：“方程是对称的，等号两边都有平方，而且有三个参数分别为a,b,r。”这两个学生回答后，又有一个学生补充说出标准方程中的符号特点。）（四）【课件投影】结论：1.圆的标准方程的特点：含有三个参数a,b,r； 点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径。 2其应用包括两个方面:（1）根据圆的标准方程，可以熟练地写出它的圆心和半径；（2）根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程。请用1分钟时间理解和记忆。（设计意图：观察圆的标准方程有哪些参数确定。培养学生观察，思考，归纳，总结的能力，教师帮助学生培养学习习惯。）（简要实录：大多数学生都能总结出此规律，能记住圆的标准方程的特点。）三、迁移拓展，深化认识（一）【课件投影】（请用刚学过的知识独立完成下列练习，完成后，同学之间相互交流结果，相互议论后请自由发言。在有同学发言时，请其他同学认真听取和思考，看是否正确，如有不同的建议，请举手发言。）1 说出下列圆的圆心和半径：(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=42 写出下列各圆的方程：(1) 圆心在原点，半径是3；(2）圆心在点C（3，4），半径是(3) 经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；（设计意图：设计了两个练习题，第一题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，第二题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，加强巩固训练，掌握圆的基础知识后为下面探究圆的切线问题作准备及知识的阔展加深打基础。）（简要实录：学生基本上都能掌握，通过六个学生的回答，前五道题没有什么问题只有最后一题在计算过程中有算错的，学生的计算能力还有待于提高。通过这两道题的学习，学生能得出：要求圆的标准方程必须三个独立的条件a,b,r即圆心和半径。）（二）【课件投影】（请用圆的标准方程有关知识解答下列练习，独立完成后，小组内相互交流讨论，然后每小组选一名代表展示你们的解题过程，其他同学可以提问题，挑毛病，也可以补充，完善，发表不同的意见。） 1求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程（设计意图：通过实例学习圆的标准方程的求法，强化认识，掌握圆的标准方程和有关与圆相切的重要性质，并巩固“点到直线的距离公式”。）（简要实录：有了圆的标准方程的基本知识，和点到直线的距离公式，点到直线的距离等于半径，学生很快解答了此题。教师把学生的解题过程投影给学生，供学生参考。）2【课件投影】已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程（设计意图：张教授说：“教师为引导，学生为主体”把课堂还给学生，把传统教学中“填鸭式”的“满堂教”变为真正意义课堂上的“满堂学”，学生动手、独立思考，教师寻视发现问题即时和学生讨论，并展示学生的作品，让大家讨论，学生发现问题，学生纠正。实现自主、探究、合作的学习。）（简要实录：学生有不同的思路，展示了三个很有代表性的解题过程，张磊同学没有考虑到斜率的问题；刘乐贺同学化简推导步骤不全，徐胜波同学书学表达不是很规范等典型的问题，在课堂上学生都可以发现。几乎不用老师纠正，学生之间就可以解决。）【课件投影】请思考还有其他的解法吗？同学们可以相互讨论，每小组选一名代表发言。后面发言的同学不要重复前面的意见，但可以补充、完善。（设计意图：本题解决方法较多，再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由本小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.培养学生对所学知识的综合能力和应用能力。此题的解答过程用到了圆的标准方程的有关知识，同时还涉及到了平面向量和三角形的有关知识如勾股定理等，综合能力比较强。设计该题主要是让学生拓宽视野，巩固提高。）（简要实录：教科书上的方法学生基本能掌握，但是还需要教师点评：用斜率的知识来求切线方程，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径而本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识，由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程，以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，大部分学生都没有给予重视或给忽略了，教师要及时结合图形补充。老师要相信学生，让学生自己找到多种解题的方法：平面向量和勾股定理老师把四个学生的解题过程展示给学生，这里有对的也有错的，但是老师没有多说是让学生来辨析，解释，归纳出正确的答案。最后由老师展示给出学生用平面向量和勾股定理两种方法的解答过程，供学生参考。）3【课件投影】（请运用圆的标准方程有关知识完成下列实际问题，独立完成后，请参考课本83页有关内容。）P2 PABA1A2A3A4O如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高，在建造时每隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）（设计意图：它是待定系数法求出圆的三个参数的又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.学以至用的意识，帮助学生明确知识的应用价值。）（简要实录：引导学生分析，共同完成解答。建系； 设圆的标准方程（待定系数）；求系数（求出圆的标准方程）；利用方程求A2P2的长度。学生在老师的提示下利用圆的方程解决了此试题，前后呼应，学生感到学有所用，增强了学习的兴趣，激发了学习的积极性。个别学生还是在计算时有困难。）（三）【课件投影】由以上练习你能总结解题规律吗？独立思考后，请发表你的想法。后面发言的同学不要重复前面的意见，但可以补充、完善。（设计意图：有学生自己归纳其解题规律，总结结论，养成学习的好习惯。）（简要实录：三个学生回答解题规律，另有两个学生补充；然后由老师归纳出完整的答案展示给学生。）【课件投影】（1）要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件；（2）根据已知条件，平面等几性质等确定a、b、r，可用待定系数法；（3）利用圆的标准方程可一些解决实际问题。请同学们用1分钟时间理解和记忆。（四）【课件投影】请同们阅读课本8284页，例1、例2、例3，请写出学习体会，然后同学之间相互传阅和交流。（设计意图：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题；老师没有过多的讲解，而是让课本给学生讲解，用课本的规范语言去完成学生的思路。）（简要实录：学生看书，老师来到学生中间，进行个别指导，帮助有困难的学生。）课后反思：本节课也是采用一课两上三讨论的具体形式，先后在两个班的上课，尽管第一节是在理科班，但是并没有在文科班的效果理想，为什么呢？经过多次讨论研究，前后对比，结果截然不同，第一节课我是按照我以前的思路设计，老师给同学们提出几个问题让学生回答，然后讲一道例题，学生模仿教师的解题过程练上几道习题，圆的标准方程也是老师推导出来让学生看看，能看懂就算是学生掌握了，有时还会问“明白没有？”其实学生并不理解，只能说他们能看懂，学生无法独立思考，也没有进行知识的自我建构，“为什么会这样？”学生对此一无所知，真可谓是：“老师讲的头头是道，学生莫名其妙” 。学习了诱思探究学科教学论，又听了张教授的报告，在张教授悉心指导下，以诱思探究为理论依据，以“自主、合作、探究”为基本理念进行教学设计。把课划分为“温故引新，以景激情；探究新知，掌握规律；迁移拓展，深化认识”三个认知层次。教学中立足于学生发展的需要，将更多的时间还给学生，将“满堂教”变成“满堂学”，让学生主动参与，积极思考，交流、合作、讨论，真正成为课堂的主体。经过张熊飞教授的现场指点之后，第二节课只所以进行的非常顺利，是因为我放开手让学生去完成，让学生展示，我只在关键时刻给出导向性信息，这样的处理收到很好的效果，使课堂轻松自然，精彩不断，我也参与到学生的讨论之中，不仅学生能真正学到知识，而且我也能更加了解学生，还能从学生那里学到很多知识，真正做到师生合作互相学习。有时学生会给教师更多精彩，要充分相信学生的能力，学生会给教师一个意想不到的结果。以“探究性学习方式”理论为指导，来实现自主、合作、探究，充分调动学生的思维和情感，调动了学生学习的积极性，激发了学生有学习兴趣，保证学生五官并用，全身心投入整个学习过程，亲身体验，主动探究，开启学生的思维，促进了学生自主学习，实现了师生平等，互助、合作，真正实现了“教师为引导，学生为主体”。在每个学习环节中都创设情境，设置适当的学习活动，并在教师导向性信息引导下一步一步走向成功。学生每解决一个问题或者得出一条结论，在他们的脸上都能看到满足、自豪和收获的喜悦。在学习活动中学生收获了知识，培养了能力，增强了信心。 这使我深深感受到“探究性学习”中的“学生在教师的导向性信息下，独立地发现问题、获得自主发展”的魅力。上完课后，我及时总结了经验，更重要的是在张熊飞教授现场指点下，我从新撰写了教学设计，张教授认真阅读了教学设计后，又对我进行反复的指导，使我更近一步对“探究性学习方式”的认识更加深刻。也体会到了诱导性思维的重要性。尤其是“导向性信息”的重要性，例如在情境导入时，开始我的导向信息是“请观察下列图片”只告诉学生“怎么动”，但并没有告诉学生“学什么”， 再例如“请推导圆的标准方程”，这样的导向性信息不够准确，学生看了不知道“怎么动”，它应该能给学生在探究活动中指明方向，它设置的好坏直接影响学习的效率，当初我也曾经把知识问题化，以问题为线索，围绕问题开展探究学习活动，用问题牵着学生的鼻子走，其实这就成了在问题牵引下的师生谈话式的教学，偏离了探究的本质，就象张教授说的：“这样不仅伤害了学生的主动性、积极性，限制了学生的思维，使学生成为被动接受者，还容易造成学生照本宣科，穿新鞋，走老路”。诱思探究学科教学论中指出：“设计导向性信息不是单纯设计问题，而是教师给学生探究活动时一个航标，这个航标对学生开展探究提出的导向性基本要求。”更让我敬佩的是张教授的严谨、认真的治学态度，虽然他已有七十多岁的高龄，但每天休息很少，不怕牺牲自己的休息时间，2008年9月24日，张教授对我个人手把手地辅导累计长达四个多小时。不仅对我的设计提出了宏观的建议，而且对我教育理念也有很深的指导。在教学设计上就连一个小小的细节也不放过，例如，在语言的组织上也要力求准确，这种精神更值得我们学习，这让我对今后的教学工作更加精益求精，对待科学的态度更加严谨，对待学生更是一丝不苟，这会让我受益终身，在此我也向张教授表示衷心的感谢。这也是一直推动探究性学习方式实验的动力。让我感到遗憾的是：45分钟过的很快，课堂上学生讨论的热情很高，问题不断的深入，有时打断学生的讨论，总感到有些于心不忍。为了保护学生的学习积极性，强化他们的成功体验，可以将一些对学生思维层次要求高的内容改为两节课来完成。张教授的诱思探究学科教学论完全符合新课程改革所提出的“自主、合作、探究”基本理念，实现应试教育向素质教育的转变提出了具体方案，而且便于实践。当然“探究性学习方式”对教师的要求更高了，教师要想上好每一节课，就要精心备好每一节课，不仅充分相信学生，而且也对教师的教学基本功、应变能力、数学修养等各方面提出更高要求，这就要求教师要提高自身的综合素质。在今后的教学中我会不断地努力，结合诱思探究学科教学论，组织学生上好每节课，真正用理论来指导自己的教学。我相信在今后的教学中我会做得更好。“二面角”典型教学设计研究 包头市田家炳中学 数学 贾殿清证书编号：075761 联系电话： 【课程分析】二面角这节课是人教版必修2中第二章第三节的内容，是学生在学习了两个平面之间的位置关系后安排的内容。二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。本节课教学的重点是二面角的平面角概念的形成过程，难点是寻找二面角的平面角的方法的发现过程。解决问题的主要思路是让学生动手操作，合作交流，在活动中去领悟。【学情分析】学生已经在平面几何中学习了“线线角”的概念，在本章学习了两个平面之间的位置关系后安排的内容。在生活中随处可见“二面角”的相关实例。本节内容是两个过程的教学：（1）二面角的平面角概念的形成过程。（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程，以及求二面角平面角的步骤，大约需要1课时。它在实际生活、生产中有广泛的应用。本班是个高二普通理科班，数学基础相对薄弱，空间想象能力有待于提高。但本班已开展“小组合作”的学习方式，课堂气氛热烈，学生积极讨论，敢于表达自己对问题的想法和观点，积极参与课堂的合作学习和探讨。本节“二面角”的规律性较强且与生活联系紧密，这能使学生对本节课的学习和探究产生浓厚的兴趣。根据学生的空间想象能力和相关基础知识掌握情况，在探究中理解二面角的平面角定义以及作法比较困难，但只要注重了适当的“诱”，提供了适当的导向性信息，学生就能度过这一难关。【设计思路】本节课采用“诱思探究教学”，变“满堂问”、 “满堂议”，为“满堂学”，侧重于学生的“自主”、“合作”、“探究”，将教师的引导与学生的自主探究，合作学习紧密结合，将“体验为红线，思维为主攻”贯穿始终，学生通过这节课的学习获得思想方法、能力和知识的最大提高。二面角的平面角概念的形成过程是重点。寻找二面角的平面角的方法的发现过程是难点。所以本课设计了三个认知层次：一、“情境创设、新课引入”。 使用多媒体课件，展示人造地球卫星绕地球飞行模拟图和拦河大坝与河面（动画），学生对两个平面相交产生直觉感知。立体几何中我们用角来定量研究了两条直线之间的相对位置，能否用两平面所成的角研究两相交平面的位置关系呢？这就有效地激起了学生进一步探寻的欲望。二、“自主合作，探究新知”。 回忆旧的知识“射线、平面角”是为用类比的方法学习半平面、二面角作准备，也是为学生发现新旧知识的一致性和不同点形成完整知识结构而准备。二面角的平面角的概念是重点，作二面角的平面角的方法是难点，在学习过程中，教师用导向性信息引导学生“阅读课本”，“小组讨论”，“代表发言”等，诱导学生完成学习任务。探知“二面角平面角概念”时，引导学生“画一画”、“练一练”，“议一议”，“记一记”。充分实现学生的主体地位，让学生动脑思、动口议，动手写，真正动起来，并鼓励学生发表不同的意见，教师适时的给予表扬、点评，让学生体验成功的喜悦，以激发学生学习的主动性与积极性。三、“学以致用，提高能力”。先让学生小组讨论，归纳本节已学的内容；然后，运用二面角的概念解决一些简单的问题加以巩固本节的知识，使用实物投影仪，展示学生的解题方案，便于学生进行讨论和点评，不断优化学生思路，规范学生的解题过程。学习目标：1、理解二面角及其平面角的概念，并将二面角与平面角进行比较，了解它们的一致性和不同点，使知识结构更完整。2、进一步理解把空间问题转化为平面问题的化归思想，提高解决数学问题的能力。3、能初步运用它们解决实际问题。学生体验到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，领悟辩证唯物主义观点。教学流程：一、情境创设、新课引入（一）情境导入，感知实例1、【课件投影】（请同学们认真观看人造卫星绕地球飞行的动画演示，以及河水在拦河大坝中流动的动画演示，独立思考下列问题，由代表回答下列问题。）（1）人造卫星绕地球飞行运行的轨道所在平面与赤道所在平面的位置关系是什么？（2）拦河大坝所在平面与河面的位置关系是什么？【设计意图】通过课件展示学生能从感官上认识两个平面相交的位置关系。【简要实录】学生对两个“动画”很感兴趣，开始积极主动地去想象。学生回答的较清楚。（二）以旧引新、奠定基础1、【课件投影】（请同学们独立思考下列问题，通过生活中实际例子加以直观、形象地说明“两平面所成的角”的大小关系，同桌间可以交流自己的想法，然后由代表回答下列问题。）在立体几何中我们用角来定量研究了两条直线之间的相对位置，你能否用“两平面所成的角”来研究两相交平面的位置关系呢？【设计意图】通过这个问题，学生回忆起原有的认知结构（用角来定量研究两条直线之间的相对位置），为知识的创新做好准备；同时学生能自然联想到“开门时，门所在平面与其对应墙所在平面所成角大小关系”。学生进而领会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。【简要实录】有些同学之间用两只手或用两本书演示两平面“所成角”的大小关系；有些回答的同学走到教室门前用“教室门”来演示自己的想法。二、自主合作，探究新知（一）运用旧知、解决问题1、【课件投影】（请同学们独立思考下列问题，同桌间可以交流自己的想法，然后由代表回答下列问题。）射线可以看作一直线上的一点把这条直线分成两部分的其中的一部分（半直线），那么，一平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的一部分是什么样的，谁能给它取个名字？【设计意图】学生自己通过对平面几何中“半直线”（射线）这一概念的引入过程，通过类比推理，迁移到“半平面”。从而实现知识的创新。教师要肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化学生的创新意识。【简要实录】由自己的体验，学生很快理解半平面的概念，平时很少回答问题的同学也发了言。2、【课件投影】（请同学们阅读课本68页第一段，独立思考相关问题，若不能解决，可同桌相互交流后,由代表回答问题。）（1）平面几何中“角”可以看作从一点出发的两条半直线（射线）所组成的图形，那么，想象一下，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形是什么样子的？（2）二面角是什么？什么是二面角的棱？什么是二面角的面？【设计意图】引导学生独立阅读课本，将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角二面角的引入上，从而实现知识的创新。【简要实录】通过类比迁移学生容易想象二面角的结构，结合课本能掌握二面角的概念，教师要肯定学生的自学成果，给予积极的评价，强化他们的自学意识（学生能自己学会的，教师不讲）。3、【课件投影】(独立思考下列问题，由代表回答第一题；做第二题时，请用直尺做图，同桌可以相互交流，然后由代表自由在实物投影上展示并讲解，有不同意见的同学可提出自己的看法.) （1）请你通过平面几何中“角”的组成结构（半直线点半直线），联想二面角的组成结构是什么？二面角的符号表示形式是什么？ （2）请同学们举出一些二面角的实例，并在练习本上画出相应的二面角，并写出它的符号表示。【设计意图】学生通过类比，迁移想象二面角的结构、理解二面角的表示方法。通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解二面角的概念。【简要实录】学生能轻松找到“翻开的书本或教室内的墙角”这样的二面角实例，并通过协助、交流，在练习本上画出相应二面角，并正确用符号表示出来。（二）小组合作、获取新知 1、【课件投影】（同学们独立思考下列问题，请自由发言，回答下列问题）观察以下几个二面角，请说说它们的“大小”有什么不同？【设计意图】引导学生对图形进行观察、分析、比较，发现各二面角的“倾斜程度”即大小不一样。在教学中，诱发学生的直觉思维是培养学生创新思维的重要途径。【简要实录】学生能说出哪个大，哪个小。2、【课件投影】（请同学们阅读课本68页第二段，独立思考相关问题，若不能解决，小组内相互讨论, 然后由代表自由在实物投影上展示并讲解，有不同意见的同学可提出自己的看法.）（1）我们常说“把门开大一些”是哪个角大一些？我们应该怎样刻画二面角的大小？（2）怎么做二面角的平面角？请在练习本上做出刚才自己所画出的二面角的平面角。（3）AOB的大小与点O在L上的位置有关吗？为什么？【设计意图】这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。进一步体会“空间角总是转化为平面的角”来研究。【简要实录】大多学生根据书上内容能概括出来二面角平面角的定义，经过小组讨论，学生理解了二面角平面角的大小与所选点O的位置无关。 3、【课件投影】（请同学们独立完成下列练习，然后由代表自由在实物投影上展示并讲解，有不同意见的同学可提出自己的看法.）请同学们在练习本上作出上图的平面角，并说明其大小与两平面倾斜程度的关系。【设计意图】根据定义学生熟练作出该二面角的平面角，并且通过点O的变动来深入研究二面角平面角的定义，为学生实现知识创新提供了一个很好的切入点。【简要实录】学生能够根据二面角平面角的概念做出以上二面角的平面角。4、【课件投影】（独立思考相关问题，若不能解决，小组内相互讨论, 然后由代表自由在实物投影上展示并讲解，有不同意见的同学可提出自己的看法.）刚才在定义二面角的平面角时，先确定棱上一点O，再作其平面角。若已知的点不在棱上，如下图，点B在二面角l的一个面内，过B如何作该二面角的平面角呢？（提示：运用“三垂线定理”相关内容）请思考两种“作二面角平面角”方法的优、缺点。BoA 【设计意图】学生分组讨论，找出做二面角的平面角有两种方法，方法一是根据定义，其优点是思路简单明了，缺点是角找出后，不易计算；方法二是根据三垂线定理或其逆定理，找角的关键是找到（或作出）平面的垂线，由于构造了一个直角三角形，因此角一旦找到，计算相对来说比较简单。让学生亲身参与方法的发现过程，因而印象深刻。为下阶段的解题作好准备【简要实录】学生充分酝酿，议论和画图，探索出找二面角平面角的新方法。学生不但动脑思考，而且动手操作。几个学生在实物投影上展示了自己的作法并讲出了自己的想法。5、【课件投影】（请同学们认真看书上相关内容，用30秒钟记忆我们得到的结论）（1）二面角的概念 （2）二面角的平面角概念 （3）作二面角平面角的方法【设计意图】学生通过反思提高了自己获取知识的能力及归纳概括能力，同时使自己的认知结构更完整，更有利于解决下面问题。【简要实录】学生在规定的时间内加强记忆了相关结论。三、学以致用，提高能力1、【课件投影】（独立思考相关问题，若不能解决，同桌可以相互交流, 然后由代表自由在实物投影上展示并讲解，有不同意见的同学可提出自己的看法.）（1）已知锐二面角al b ，A为面a内一点，A到b 的距离为2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 a l b 的大小。（2）一张边长为10厘米的正三角形纸片BC，以它的高AD为折痕，折成一个1200二面角，求此时B、C两点间的距离。（3）山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是600，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是300，沿这条路上山，行走100米后升高了多少米？【设计意图】通过解决实际问题，让学生初步感受二面角在实际生活中的应用。【简要实录】学生很快解答了这些题。2、【课件投影】布置作业（1）（必作题）DABC中ACB=90，PA平面ABC，PA=2，AC=2，则平面PBC与平面PAC，平面ABC所成的二面角的大小分别是多少？ （2）（选作题）点O为二面角a内部一点，过O如何作该二面角的平面角呢？【设计意图】分层次布置作业，让有能力的学生能更好的发挥自己的能力。【简要实录】大多学生独立完成了第一题，一些基础欠缺的同学通过学生、教师的帮助完成了第一题，一些基础好的学生独立完成了第二题，掌握了用“垂面”做二面角平面角的方法。课后反思：本节课采用了一课两上三讨论的具体形式，开展了研究课。前后二节课整体的设计从知识的形成过程看，没有多大差异，但课堂结构发生了质的变化，效果也明显不同：前一节课我认为“小组讨论”才是“合作”，一节课设置的“小组讨论”的问题很多，实现了“满堂议”，很热闹，但问题大都无充分时间讨论，真是“热热闹闹一场空”。第二节课则是在教师导向性信息诱导下的“满堂学”。具体地说：第一方面，体会到利用媒体资源，创设“学习情境”的重要性。第一次上课，让学生直接看书上的“拦河大坝”和“人造卫星运行轨道”示意图，又设计了很多问题，学生思路被教师的思路牵着走，课堂气氛死气沉沉，没有更好地实现新课标提出的自主、合作、探究。第二次上课，使用多媒体产生电脑动画，使“拦河大坝”和“人造卫星运行轨道”动起来，学生学习兴趣被调动起来，让学生动脑思、动口议，动手写真正地动起来，充分实现学生的主体地位，并鼓励学生发表不同的意见，教师适时的给予表扬、点评，让学生体验成功的喜悦，以激发了学生学习的主动性与积极性。探究性学习方式进行教学，由学生的实际情况出发，学生积极思考，互相合作，共同探究得到二面角平面角的作法，通过一系列思考和练习，学生加深了对知识和方法的理解。第二方面，体会多媒体与实物投影结合使用的高效。第一节课，在学生完成练习后，让学生上黑板板演，非常浪费时间，在上第二节课时，我采取把典型问题让学生在实物投影上展示、讲解，效率提高了许多。第三方面，进一步深刻理解了“合作学习”的内涵。第一次课上，每个问题都设置了“小组讨论”，因为没有足够的时间，所以很多讨论都“形同虚设”，没有落实。在以前自己一直觉得“小组讨论”才是合作，近期我又认真阅读了张熊飞教授“诱思探究”有关这方面的资料，才更深刻理解了“学生的自由发言”以及个性化的“代表发言”都是合作学习，并且在本节课堂上进行了充分的运用。第四方面，在课堂上，对于一些较难问题应采取“小组讨论”的方式解决；在课下，应采取“小组合作”的方式实现“兵教兵”。在课堂上，要给学生充足的时间去真正落到实处，不能只是走形势；并且让小组合作延伸到课外，真正实现“兵教兵”。在讲到二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关时，杨凤飞同学理解不了，原因是她忘记了“等角定理”，在小组讨论中她理解了这个问题。通过小组互动学习既拓展了课堂教学的时空，又加强了教学的个别化；因小组的合作，课堂中被冷落或遗忘的角落消失了很多，教师和学生的相互关心与相互信任相结合，学生就不会把教师单纯地看成严厉的监督者，积极性、主动性逐渐增强，上课死气沉沉的压抑氛围会渐渐得到扭转。通过小组互动学习，使学习环境变得民主、开放，学生所焕发的潜能和展现的差异，令人吃惊。无论潜能还是差异，我们深切地体会到，它们都是亟待开发利用的教育资源。越是人数多的班级，越需要小组合作学习。让每一个学生都有归属感，不再无助；他可以坦率地对老师说：某某地方我没有做好，某某地方我不会做。他的良心是纯洁的，他不可能去抄袭别人的作业或者考试时搞夹带。他想树立起自己的尊严。在小组合作学习中，教师要注意学生的层次是不同的。第一种是无需任何帮助就能很容易地解答相应问题，教师刚刚展示出问题他们就举手要求回答。对于这些学生，在小组合作学习中，教师要要求他们达到“会做”、“会讲”、“会出题”的层次：在课堂上安排他们组织小组讨论，给第二种、第三种学生讲题；在课下教师指导他们学会出题，给一些基础不好的同学作为巩固练习。这样第一种同学不仅在知识技能上得到提高，而且在组织能力、交际能力方面也得到了锻炼。第二种能在没有帮助的情况下完成中等难度的习题，但是对复杂的习题有时解不出来，要求他们达到“会做”、“会讲”的层次：给第三种学生讲题。第三种学生对问题的理解很慢，解答也很慢。他们在一节课上所能完成的作业，要比第一种、第二种学生所做的少一半到三分之二，但是教师无论如何不要催促他们，对于这些学生，在小组合作学习中，让第一种、第二种学生帮助他们补基础，讲清楚他们解决不了的问题。教师要为他们专门另选一些题目，始终只能指望他们在一节课上有所进步，哪怕一点点进步也好。第五方面，体会到“导向性信息”具有神奇的力量。第一节在“学以致用，提高能力”环节的例题中的导向性信息是：小组讨论交流，说出解决这个问题的想法。很多学生题目都没看，盲目讨论，问题回答效果不好。第二节课，我把导向性信息改为：独立思考相关问题，若不能解决，同桌可以相互交流, 然后由代表自由在实物投影上展示并讲解，有不同意见的同学可提出自己的看法.导向性信息清晰地指示出学生应“学什么”、“怎么学”，让学生清楚地知道“怎样跳就能够到苹果”，学生解答效果非常好。恰当设置的导向性信息可以把学生引进一种力所能及的、向他们预示着并且使他们得到成功的脑力劳动中去，就连那些调皮捣蛋的学生也能勤奋地、专心致志地开始积极思考、认真参与学习。这些学生在紧张的劳动中显示他们那积极活动的精神，他们变得跟以前完全两样了。每一个学生都在尽量靠自己的努力去达到目的，不同的学生真正学到“自己”的数学。另外，在第一节课后布置作业时，有三分之一的学生按时完成不了。所以在第二节课后布置作业时，我采取了分层次布置作业，让有能力的学生能更好的发挥自己的能力。张熊飞教授说过，充分相信学生能行的教师将是成功的，不相信学生的能力，处处都在“滔滔不绝”地讲到、讲透的教师将是失败的。我已经很深刻地理解了其中的道理：只要教师设计的导向性信息是科学的、准确的、恰当的，学生都会很好的完成。通过这堂课，我认识到确实应该把课堂还给学生，放手让学生自己去探索去研究，学生完全有能力做好。双曲线定义及其标准方程典型教学设计研究包头市田家炳中学 数学学科 姓名：谢雪梅证书编号：02227 联系方式：【课程分析】双曲线定义及其标准方程这一节是在学生学习了椭圆的有关知识以后学习的另一种圆锥曲线，这一节从整体来看有两大块内容一是定义；二是标准方程。前面，我们学习了椭圆，已经掌握了椭圆的定义和标准方程。由于双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，在数学思想和方法上没有新的内容，因此，可用类比法来学习双曲线。双曲线的学习是对圆锥曲线内容研究的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。掌握双曲线的定义和标准方程是本节课学习的重点，标准方程的探索推导过程是本节课的难点；定义中的“差的绝对值”的理解是疑点。【学情分析】 在学习本节课之前，学生已掌握了椭圆的相关知识，从知识层面和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础，创设适当的情境让学生的旧知识得以同化和迁移，因此，学生可以参照椭圆类比学习。由于该班学生的基础相对薄弱、逻辑思维和演绎推理欠缺，因此需要教师引导学生 “处理疑点类比推理（类比椭圆分析各种情形）突破难点（关键是利用双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形）归纳总结”，学生就能较好地解决问题。【学法设计】本着“以情激情，已诱达思”的诱思探究教学理念，教学过程中把着力点放在如何激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣，唤醒学生主体认识几个方面，同时采用多媒体辅助教学，利用几何画板和教具画双曲线，演示过程形象直观，学生不仅可看到双曲线形成过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。以此激发学生的学习兴趣和探究意识。同时，为了达到本节课的学习目标，更好地突出重点，分散难点，本节课的教学过程设计了三个认知层次。（1）复习旧知，引入新知。回忆旧知，是为双曲线的学习做好铺垫，起到了以旧引新的作用，为学生的进一步“起跳”奠定了基础，同时也是为学生发现新旧知识的一致性和不同点形成完整知识结构而准备。（2）自主合作、探索新知。在教学过程中以学生的感悟、探究为主，教师利用导向性信息，有效诱导，挖掘诱思点，引导学生主动参与自主合作地完成学习任务。在突破难点时采用“类比”的思想 ，类比椭圆方程的推导过程，迁移应用；通过“读”、“思”、“议”、“说”、“ 写”等学习活动，使学生“五官并用、亲身体验、主动探究、合作交流”，实现由感性认识到理性认识的飞跃。（3）迁移应用 、巩固新知。这一环节设计了两个了例题和一组练习，通过这些问题的解决，以此帮助学生巩固对定义和标准方程的理解，达到学为所用，同时可全面照顾到不同层次的学生，激发他们的能动性。通过让学生对本节课进行总结。帮助他们认清这节课的知识结构，使之条理清晰，能培养学生们的归纳总结能力。 【学习目标】（1）记住双曲线的定义和标准方程（2）能自行推导双曲线的标准方程（3）能根据已知条件求简单的双曲线的标准方程【教学流程】一、 回顾旧知、导入新课 【课件投影】请同学们回忆下列几个问题，若回忆不出，可以翻阅课本，互相讨论，然后同学们一起回答。 1、椭圆的第一定义是什么？2、椭圆定义中有哪些注意点？3、椭圆的标准方程是什么？4、如何判断焦点位置？a、b、c是何种关系？（设计意图： 在课的开始设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾， 通过回顾，既为下面双曲线的学习做好铺垫，又为学生发现新旧知识的异同点形成完整的知识结构而准备。）（简要实录：学生一起口述上面四个问题，回答基本到位。)二、问题引导、合作探究(一) 【课件投影】请同学们先独立思考下列问题，接着，再认真观看老师演示双曲线的作图过程。然后小组内两俩合作，使用已准备好的实验用具拉链在练习本上亲自动手画图；并同时观察体会曲线形成的过程，最后，根据作图过程请同学们自由发言。问题：（