动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

.专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；4. 最短路径模型（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.（2）双动点模型P是AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P、P，连接PP与动点所在直线的交点M、N即为所求.5. 二次函数的最大（小）值，当a0时，y有最小值k；当a0）经过点A(1,0)，点M(m,0)是x轴正半轴上的动点，若点Q（）在抛物线上，当的最小值为时，求b的值.例5. （2019舟山）如图，一副含30和45角的三角板和拼合在个平面上，边与重合，当点从点出发沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动当点从点滑动到点时，点运动的路径长为；连接，则的面积最大值为例6. （2019巴中）如图，在菱形ABCD中，连接BD、AC交于点O，过点O作OHBC于点H，以O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证：DC是圆O的切线；（2）若AC=4MC，且AC=8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.专题01 动点问题中的最值、最短路径问题（解析）例1. （2019凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 【答案】4. 【解析】解：PQEP，EPQ=90，即EPB+QPC=90，四边形ABCD是正方形，B=C=90，EPB+BEP=90，BEP=QPC，BEPCPQ，AB=12，AE=3，BE=9，设CQ=y，BP=x，CP=12x，（0x0）经过点A(1,0)，点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.若点Q（）在抛物线上，当的最小值为时，求b的值.【答案】见解析.【解析】解：经过点A(1,0)，1+b+c=0，即点Q（）在抛物线上，即，b0，Q点在第四象限，所以只要构造出即可得到的最小值取N（1,0），连接AN，过M作MGAN于G，连接QM，如图所示，AGM为等腰直角三角形，GM=，即当G、M、Q三点共线时，GM+MQ取最小值，即取最小值，此时MQH为等腰直角三角形，QM=，GM= QH=MH，=，解得：m= 联立得：m=，b=4. 即当的最小值为时，b=4. 【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将转化为2，进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解.例5. （2019舟山）如图，一副含30和45角的三角板和拼合在个平面上，边与重合，当点从点出发沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动当点从点滑动到点时，点运动的路径长为；连接，则的面积最大值为【答案】【解析】解：如图1所示，当E运动至E，F滑动到F时，图1过D作DGAC于G，DHBC交BC延长线于点H，可得EDG=FDH，DE=DF，RtEDGRtFDH，DG=GH,D在ACH的角平分线上，即C，D，D三点共线. 通过分析可知，当DEAC时，DD的长度最大，随后返回初始D点，如图2所示，D点的运动路径为DDD，行走路线长度为2DD；图2BAC=30，AC=12，DE=CDBC=，CD=DE=，由图知：四边形ECFD为正方形，CD=EF=12，DD=CD-CD=12-,D点运动路程为2DD=24-；图3如图3所示，当点D运动至D时，ABD的面积最大，最大面积为：=【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度.例6. （2019巴中）如图，在菱形ABCD中，连接BD、AC交于点O，过点O作OHBC于点H，以O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证：DC是圆O的切线；（2）若AC=4MC，且AC=8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.【答案】见解析.【解析】（1）证明：过点O作ONCD于N，AC是菱形ABCD的对角线，AC平分BCD，OHBC，ONCD，OH=ON，又OH为圆O的半径，ON为圆O的半径，即CD是圆O的切线.（2）由题意知：OC=2MC=4，MC=OM=2，即OH=2，在RtOHC中，OC=2OH，可得：OCH=30，COH=60，由勾股定理得：CH=（3）作点M关于直线BD的对称点M，连接MH交BD于点P，可知：PM=PM即PH+PM=PH+PM=HM，