数字信号处理第2章

2011级生医工本科生,第2章：Z变换与离散时间付里叶变换（DTFT）,主讲老师：刘官正邮箱：gz.liu工学院B524#,人体系统：循环系统：生物体的细胞外液（包括血浆、淋巴和组织液）及其借以循环流动的管道组成的系统。包括：大小循环系统，即心血管系统和呼吸系统。肌肉骨骼系统泌尿系统听觉生理系统血压调节系统视觉系统心脏的电生理系统.,一、引言：生命系统科普,重要的生命体征参数：心电信号（ECG）：无数心肌细胞动作电位变化的总和在体表的反映。呼吸信号：人体与外界环境进行气体交换的总过程。容积血流脉搏波（PPG：PhotoPlethysmoGraphy）：反映血管容积变化的波形，主要分光学PPG、压力PPG两种。血压：血管内的血液对于单位面积血管壁的侧压力。PPG,一、引言：生命体征参数介绍,信号与系统分析方法：时域分析：如最大/小值、导数（一阶/二阶）、幅值等变换域分析：频域分析（离散时间付里叶变换）、Z变换非线性分析：如熵、混沌理论、拓扑理论等,一、引言：信号分析方法,主要内容重点：几种常见序列的z变换收敛域问题,收敛域的定义两种正项级数收敛性的判别方法几种常见序列的z变换收敛域问题,二、Z变换的定义与收敛域,收敛的所有z值之集合为收敛域。（Regionofconvergence简称ROC）,对于任意给定的序列x(n)，能使,与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式。下面举例说明以上情况。,二、Z变换的定义与收敛域,例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)，x2(n)=-anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确定它们的收敛域。,如果|z|a,则上面的级数收敛，这样得到,解：,由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续函数。也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解析函数。,二、Z变换的定义与收敛域,根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即要求,可以用两种方法求级数的收敛域比值判定法和根值判定法。,二、Z变换的定义与收敛域,1）比值判定法,所谓比值判定法就是说若有一个正项级数，令它的后项与前项的比值等于，即,两种正项级数收敛性的判别方法,二、Z变换的定义与收敛域,2)根值判定法,所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次根等于,下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题,二、Z变换的定义与收敛域,两种正项级数收敛性的判别方法,有限长序列Z变换收敛域有限长序列的Z变换：三种有限长序列的收敛域,二、Z变换的定义与收敛域,左边序列Z变换收敛域,可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。,二、Z变换的定义与收敛域,二、Z变换的定义与收敛域,左边序列Z变换收敛域,圆内收敛,圆外收敛,没有收敛域,双边序列Z变换收敛域,二、Z变换的定义与收敛域,例题：求序列xn=anun-bnu-n-1的z变换,并确定收敛域（ba,b0,a0）。,解：,由例1的结果可直接得到：,因为ba,这样得到,例题：求序列xn=anun-bnu-n-1的z变换,并确定收敛域（ba,b0,a0）。,一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。,三、Z反变换,Z反变换定义,C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.,0,c,三、Z反变换,Z反变换定义,Zk为c内的第k个极点，Zm为c外的第m个极点，Res表示极点处的留数,c为逆时针方向。,求Z反变换的方法,三、Z反变换,1、留数法,多重极点留数法调整为：,求Z反变换的方法,三、Z反变换,1、留数法,用留数法求x(n)时，如何确定n的范围？,n的取值会增加极点时，求C外；n的取值不会增加极点时，求C内！无论C内还是C外，若无极点，即留数为0,有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。,三、Z反变换,2、部分分式展开法-部分分式,X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：,三、Z反变换,2、部分分式展开法-X(z)展成部分分式形式,见：书P54-55：表2-1几种序列的z变换,三、Z反变换,2、部分分式展开法-查表以确定每个分式的反变换值,n的范围如何确定？,严格对照表中Z收敛域，所求Z的收敛域应属于所选表中：序号的收敛域,的z反变换。,例利用部分分式法，求,解：,三、Z反变换,2、部分分式展开法-例题,三、Z反变换,2、部分分式展开法-例题,的z反变换。,例利用部分分式法，求,解：,因为x(n)的Z变换为Z-1的幂级数，即所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成Z的正幂级数。,三、Z反变换,3、幂级数展开法(长除法),展成部分分式针对每个部分分式，根据其收敛域，展成因果序列或左边序列。,三、Z反变换,3、幂级数展开法(长除法)-一般求法,即满足均匀性与叠加性收敛域为两者重叠部分,四、Z变换的基本性质和定理,1、线性,2.序列的移位,例2-10,P60求序列的z变换。,四、Z变换的基本性质和定理,1、线性,如果则有：,例求序列x(n)=u(n-3)的z变换。,四、Z变换的基本性质和定理,2、序列的移位,如果,，则,证明：,四、Z变换的基本性质和定理,3、z域尺度变换（乘以指数序列）,如果,，则,证明：,四、Z变换的基本性质和定理,4、序列的线性加权（Z域求导数）,如果,，则,证明：,四、Z变换的基本性质和定理,5、共轭序列,如果,，则,证明：,四、Z变换的基本性质和定理,6、翻褶序列,证明：,四、Z变换的基本性质和定理,7、初值定理,证明：,四、Z变换的基本性质和定理,8、终值定理,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。,四、Z变换的基本性质和定理,8、终值定理,证明：,四、Z变换的基本性质和定理,9、有限项累加特性,四、Z变换的基本性质和定理,9、有限项累加特性,四、Z变换的基本性质和定理,10、序列的卷积和,证明：,四、Z变换的基本性质和定理,10、序列的卷积和-证明,例,解：,其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域