第2-1节_随机变量及其分布函数_

第二章随机变量及其分布,二、分布函数的概念,一、随机变量的概念,三、例题讲解,第2-1节随机变量的分布函数,四、小结,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示,1.定义,一、随机变量的概念,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).,2.说明:,(1)随机变量与普通的函数不同,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,(3)随机变量与随机事件的关系,实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,=红色、白色,非数量,将数量化,可采用下列方法,即有X(红色)=1,X(白色)=0.,这样便将非数量的=红色，白色数量化了.,实例2抛掷骰子,观察出现的点数.,=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,3.随机变量的分类,离散型,(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.,观察掷一个骰子出现的点数.,随机变量X的可能值是:,随机变量,连续型,实例1,1,2,3,4,5,6.,非离散型,其它,实例2若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能值是:,实例3设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X的所有可能取值为:,实例2随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”.,则X的取值范围为(a,b).,实例1随机变量X为“灯泡的寿命”.,(2)连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.,则X的取值范围为,对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值,要知道X取这些值的概率;而且更重要的是想知道X在任意有限区间(a,b)内取值的概率.,分布函数,二、分布函数及其性质,例如,1.概念的引入,2.分布函数的定义,说明:,(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,解:(1),（教材P37例1.1）,(2)随机变量X在区间上取值的概率。,(2)随机变量X在区间上取值的概率为,证明:,3.分布函数的性质,（单调不减性）,（有界性）,证明,即任一分布函数处处右连续.,所以,反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X的分布函数.也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.,重要公式:,设随机变量X的分布函数：,计算:,解：,课堂练习：,请同学们思考：,不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?,答,不一定.,例如抛均匀硬币,令,课堂练习：,2.P39例1.2,2.2离散型随机变量及其概率分布,定义1若随机变量X的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称这种随机变量为离散型随机变量。,一、离散型随机变量的分布律,定义2,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,其中,用这两条性质判断一个函数是否是概率函数,解:依据概率函数的性质:,A0,从中解得,欲使上述函数为概率函数,应有,例1.,设随机变量X的概率函数为：,k=0,1,2,试确定常数A.,（教材P60第4题）,例2从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、一件地取产品.设每次抽取时,所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去,再取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.,（同型题习题课教程P358练习11.1第3、4题）,解,(1)X所取的可能值是,(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,X所取的可能值是,(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.,故X的分布律为,X所取的可能值是,二离散随机变量的分布函数,其中.,由于F(x)是X取的诸值xk的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.,F(x)是分段阶梯函数,在X的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度pk.,见P40例2.1,解,例3设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.,首次停下时已通过的信号灯盏数,求X的概率分布与p=0.4时的分布函数.,令X表示,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,1,o,例4一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0p1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数X的概率分布.,帕斯卡分布,（见习题课教程P341例5）,3连续型随机变量及其概率密度,定义设X是随机变量,若存在一个非负可积函数f(x),使得,其中F(x)是它的分布函数,则称X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简记为概率密度。记为,一、连续型随机变量及概率密度的概念,分布函数与密度函数几何意义,练习P41例3.1,二、f(x)的性质：,性质1,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的概率密度。,性质2,对于连续型随机变量X,a,b任意,x,b,f(x),a,性质3,性质4,在f(x)的连续点处，,若x是f(x)的连续点，则：,=f(x),对f(x)的进一步理解:,f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率.,故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,注意:对于连续型随机变量X,P(X=a)=0,其中a是随机变量X的一个可能的取值,强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生).,事实上,注:对于连续型随机变量X,连续型随机变