常微分方程与差分方程.ppt

1,第五章常微分方程与差分方程,2,考试内容,1.常微分方程的基本概念,常微分方程含有一元未知函数及其导数(或微分)的方程.,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,线性微分方程方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是一次,且无交叉乘积项.,或,一般地,n阶常微分方程的形式是,二阶非线性.,二阶线性.,3,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题.,初始条件用来确定任意常数的条件.,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.,特解,不含任意常数的解.其图形称为积分曲线.,注意,通解不一定是方程的全部解.,4,2.变量可分离的微分方程,形式,解法,分离变量,两边积分,称为隐式通解,或通积分.,5,形式,3.齐次微分方程,解法,作变量代换,代入原式得,两边积分,将u代回,便得到原方程的通解.,6,(其中h和k是待定的常数),可化为齐次的方程,化为齐次方程.,化为可分离变量方程.,7,4.一阶线性微分方程,形式,齐次方程的解法,称为非齐次方程.,称为齐次方程;,分离变量,两边积分得,故通解为,8,非齐次方程的解法,齐次方程通解,非齐次方程特解,用常数变易法:,则,故原方程的通解为,也即,即,作变换,两边积分得,公式法,9,伯努利方程,令,求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.,除方程两边,得,解法:,(线性方程),10,5.线性微分方程解的性质及解的结构定理,n阶线性微分方程的形式,(2)称为(1)相应的齐次方程.,特别地,n阶齐次线性微分方程,定理1:,是n阶齐次方程(2),的n个解,则,也为齐次方程(2)的解.,齐次方程解的叠加原理,11,定理2:,是n阶齐次方程(2),的n个线性无关解,则方程的通解为,5.线性微分方程解的性质及解的结构定理,定理3:,是n阶非齐次方程(1),的两个解,则,是相应的齐次线性(2),方程的解.,12,定理4:,是对应齐次方程(2)的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程(1),是非齐次方程(1)的特解,则非齐次方,程(1)的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,5.线性微分方程解的性质及解的结构定理,13,6.二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为:,特征根为:,特征根的情况,通解的表达式,两互不相同的实根,二重根,两个共轭复根,14,二阶常系数非齐次线性微分方程,对应齐次方程,通解结构,简单的非齐次线性微分方程特解的求法,设方程的特解形式为:,15,简单的非齐次线性微分方程特解的求法,设方程的特解形式为:,16,7.差分与差分方程的概念,差分,例,17,差分方程,差分方程中所出现的未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.,若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.,18,8.差分方程的通解与特解,9.一阶常系数线性差分方程,若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方程的阶数,则称该解为差分方程的通解.,不包含任意常数的解,称为特解.,19,9.一阶常系数线性差分方程,其特征方程为:,特征根为:,相应的齐次线性差分方程的通解为:,特解形式为:,20,10.微分方程的简单应用,21,考试要求,1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.,3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.,4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.,2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.,5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.,6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.,7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.,22,典型例题分析,例1,例2,A.一阶线性齐次微分方程,B.一阶线性非齐次微分方程,C.伯努利方程,D.非线性微分方程,本题应选A.,解,特征根为0和1,解,本题应选D.,23,解,例3,方程可以表示成,等式两边积分得,即,注意:在方程求解变形中,原方程与变形后的方程有可能不是同解变形,可能会遗漏一部分解,可以将这些解单独讨论补上.,24,解,例4,25,解,例5,这是齐次方程,原方程化为,26,解,例6,这是一阶线性微分方程,由公式法得方程的通解为,27,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,则,从而有,利用公式法可求出,解,例7,28,例8求方程,的通解.,解,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,方程为伯努利方程,29,解,例9,30,例10,解,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.,本题应选D.,31,例11,已知微分方程,求此方程满足初始条件,的特解.,解,是对应齐次方程的解,且,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三个解,32,解,例12,33,例13,解,对应齐次方程的特征方程为,解得,故对应齐次方程的通解为,则令特解为,34,代入原方程整理得,例13,原方程的特解,则原