双曲线及其标准方程

第三章圆锥曲线与方程,双曲线及其标准方程,3.1,回顾:椭圆的定义,平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.,回顾:椭圆的定义,平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.,平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？,猜想,如图A，,|MF1|-|MF2|=2a，,如图B，,|MF2|-|MF1|=2a，,上面两条合起来叫做双曲线,由可得：,|MF1|-|MF2|=2a，（差的绝对值）,A,B,F2,F1,F2,F1,M,M,动画,双曲线冷却塔工程,平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线。,定义:,定点F1，F2叫作双曲线的焦点;,两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距。,F,2,F,1,M,1、建系2、设点3、列式4、化简5、检验,求双曲线标准方程的步骤:,方程的推导,取过焦点F1、F2的直线为x轴，取线段F1、F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。,1、建系,设M（x,y）点为曲线上任一点，|F1F2|=2c,则,F1(-c,0),F2(c,0).,2、设点,F,2,F,1,M,x,y,3、列式,|MF1|-|MF2|=2a,4、化简,（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),令c2-a2b2,5、检验,得,双曲线的标准方程：,如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,练习1：写出以下双曲线的焦点坐标,F(5,0),F(0,5),例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.,2a=6,c=5,a=3,c=5,b2=52-32=16,所以所求双曲线的标准方程为：,练习2、写出适合下列条件的双曲线的标准方程。1)a=4，b=3，焦点在x轴上.,2）a=，c=4,练习3：已知双曲线的焦点为（0，6）、（0，6），且经过点（2，5），求双曲线的标准方程。,例2:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.,解:,方程表示双曲线时，则m的取值范围_.,练习4：,例3、已知A、B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点所在的曲线方程。,A,P,解：如图，建立直角坐标系xoy，使A、B两点在x轴上，并且坐标原点o与线段AB的中点重合。,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则,B,|PA|-|PB|=3402=680，,即2a=680，a=340.,又|AB|=800，,所以2c=800,c=400，,b2=c2-a2=44400.,因为|PA|-|PB|=3402=680，所以x0.,因此炮弹爆炸点的轨迹的方程为,变式训练,解：(1)由双曲线的标准方程可知，此双曲线的焦点在x轴上，且a236，b245，则c2a2b2364581，所以c9.故焦点F1，F2的坐标分别为(9，0)，(9，0).(2)因为点P在双曲线上，所以|PF1|PF2|2