天津市第一中学2020学年高一数学下学期期末考试试题

天津一中 202020202 高一年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第 I 卷(选择题填空题)、第 II 卷(答题纸)两部分,共 100 分,考试用时 90 分钟。考 生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分）1.在正四面体 PABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,则下列四个结论中不成立的是A.BC平面 PDFB.DF平面 PAEC.平面 PDF平面 ABCD.平面 PAE平面 ABC2.a、b 是两条不相交的直线,则过直线 b 且平行于 a 的平面A.有且只有一个 B.至少有一个C.至多有一个D.只能有有限个3.直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a1)y+a21=0 平行,则 a 等于A.1B.1 或 2C.2D.14.两直线 2x+3ym=0 和 xmy+12=0 的交点在轴上,则 m 的值为A.24B.6C.6D.以上都不对5.已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若ABO 为直角三角形,则必有A.b=a3B.b=a3+a1C.(ba3)(ba3a1)=0 D.|ba3|+|ba3a1|=06.一条光线从点(2,3)射出,经过 y 轴反射与圆(x+3)2+(y2)2=1 相切,则反射光线所在的直线的斜率 为A. 5 或 3B. 3 或 33522C. 5 或 4D. 4 或 345347.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域(x,y)|x2+y24分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线 的方程为A.x+y2=0B.y1=0C.xy=0D.x+3y4=0PA PB PC8.已知点 A、B、C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 ABBC,若点 P 的坐标为(2,0),则| |的最大值为A.6B.7C.8D.99.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,面对角线 A1B 上存在一点 P,使得 AP+D1P 取得最小值,则此最小值为A.2B. 2 62C. 2 2D. 2 210.已知点 A(1,0)、B(1,0)、C(0,1),直线 y=ax+b(a0)将ABC 分割为 面积相等的两部分,则 b 的取值范围是A.(0,1)B.(1 2 , 1 )C.(1 2 , 1 D. 1 , 1 )22233 2二.填空题(每小题 4 分,共 24 分）11.长方体 ABCDA1B1C1D1 中,棱 AA1=5,AB=12,那么直线 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离是 .12.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 在侧面 CC1D1D 及其边界上运动，并且总保持 B1P平面 A1BD,则动点 P 的轨迹的长度是 .13.如果 x2+y22x+y+k=0 是圆的方程,则实数 k 的取值范围是 .14.若圆 x2+y24x+2y+m=0 与 y 轴交于 A、B 两点,且ACB=90o（其中 C 为已知圆的圆心）,则实数 m 等于 .15.关于 x 的方程16 x 2 x m 有两个实数解,则实数 m 的取值范围是 .16.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x2+y28x+15=0,若直线 y=kx2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 三.解答题:(共 4 题,46 分)17.已知圆 C 与 y 轴相切,圆心在射线 x=3y(x0)上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7 .(1)求圆 C 方程(2)直线 l:(m+2)x+(m1)y4m2=0,证明:无论 m 取何值,直线 l 与圆 C 恒交于两点.18.已知正方形 ABCD 与梯形 CDEF 所在平面互相垂直,CDDE,CFDE,CD=CF=2,DE=4,G 为 AE的中点. (1)求证:FG平面 ABCD (2)求证:平面 ADF平面 AEF(3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值.19.已知四边形 ABCD 与 BDEF 都为菱形,FA=FC,且DAB=DBF=60o. (1)求证:AC平面 BDEF(2)求二面角 EAFB 的正弦值(3)若 M 为边 DE 上一点,满足直线 AM 与平面 ABF 所成角的正弦值为 2 30 ,求 DM15DE的值.20.已知点 H(0,3),直线 l:2xy4=0,设圆 C 的半径为 1,圆心在直线 l 上.(1)若圆心 C 也在直线 xy1=0 上,过点 H 作圆 C 的切线,求切线的方程 (2)若圆 C 上存在点 M,使 MH=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围(3) 在(1) 的条件下把圆 C 向左平移 3 个长度单位,向下平移 2 个长度单位得到圆 C1,直线 l1:y=kx+m 与圆 C1 交于 A、P 两点,与 x、y 轴交于 M、N 两点,且 PN=MN,点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点,QN 的延长线交圆 C1 于点 B,过 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 A1、B1,是 否存在直线 l1 使得点 M 平分线段 A1B1,若存在求出直线 l1 的方程若不存在说明理由.参考答案：1.C2.B3.A4.C5.C6.D7.A8.B9.C10.B6011.1312.213.（ , 54）14.315. 4,44 2 ）16.317.解：（1）设圆心 C(3a,a)（a0）半径 r=3a 2 7则由 (3a)2 ( 2a )22 a 2 1即 a0 a0 a 1圆 C方程(x 3)2 (y 1)29m（2） 令 2x则2点 p(2,2)适合直线l方程 m 1 y2故点 p(2,2) 使|PQ|=2 3点 P 在圆 C 点故直线 l 与圆 C 恒交于两点18.解 平面 ABCD 平面 CDEF(1) 平面 ABCD 平面 CDEFCD AC AD CD面 ABCD，AD平面 CDEF DE CD以 D 为原点， DC ,DE ,DA为 x,y,z 轴由正方向建立空间直角坐标系A（0，0，2）B（2，0，2）C（2，0，0）D（0，0，0）E（0，4，0）F（2，2，0）G（0，2，1）FG ( 2,0,1)平面 ABCD的法向量 P (0,1,0) FG P 0 FG平面 ABCD FG / 平面 ABCD(2)平面 ADF的法向量 m (x ,y ,z) DA (0,0,2) DA m 0 z0 x6 y 1 (1, 1,0) DF (2,2,0) DF m0 x y0 z0 平面 ADF的法向量 m (x ,y ,z) AE (0,4,2) AE m 0 2y z 0 xy (1,1,2) EF (2, 2,0) EF m0 x y0 z2 m n0 平面 ADF平面 AEF（3）由| cos m p | | m| m p |6 p |6故平面 AEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值6619.解（1）设 AC BD=0 OA FADC AC FC ACFD FD BD BD 0AC平面 BDEF FD（2） FDBD FD AC AC平面 ABCD BD以 O 原点，OA，OB，OF为 x ,y ,z轴正方向建立空间直角坐标系，设AB=2aA( 3a,0,0)B(0,a,0)C( 3a,0,0)D(0, a,0)F(0,0,3a)平面AEF的法向量m (x ,y ,z) AF ( 3a,0,3a) AF m 0 x y 0 x y 1 (1,0,1) EFDB (0,2a,0) EF m0 y0 y0平面ABF的法向量m (x ,y ,z) AF ( 3a,0,3a ) AF m 0 x y 0 x y 1 | cos m n | (1,| m n |3,1) 15 AB ( 3a,a,0) AB m03x y0 y3| m | | n |5设DM DE(0 1) AM DE AD BF AD ( 3a, a a ,3a ) n (1,3,1) 2 由2 | cos Am,n | 即 8 2 4 1 015 0 1 3 14 D M 故DE 3 1420.解（1） 2x y 40由 圆 EC(3,2) r 1,(x 3)2 (y 2)2 1 x y 1 0 设切线方程 ykx 3| 3k 2 3 | 1即8k 2 6k0k 2 k 10 or k 3 故切线方程 y43或3x 4y 120(2)设点 M（x,y）由 MA2MO点 M的轨迹是以 D(0, 1) r 2 圆 BD(0, 1) 圆 BC(a,2a 4)圆 C与圆 D有公共交点等价于2 1 | CD | 2 11 a 2 (2a 3)2 3 a 0 12,5x 2 (y 3)24x 2 4y 2即 x 2 (y 1)24(3)设 A(x1 ,y 1 ) B(x 2 ,y 2 )M( m km,0) N(0,m )mA1(x1 ,0) B1(x 2 ,0)P(,2m )kQ(, 2m )k直线 l 方程 ykx m得(k 2 1)x 2 2kmx m 2 1 01 x 2 y 2 1x m 2k m 1k y 3kx mk 2 1直线 QN方程 x 2 y 2 1得(qk