安徽省阜阳市第一中学2020学年高一数学下学期5月月考试题 文（含解析）

安徽省阜阳市第一中学2020学年高一数学下学期5月月考试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线，的斜率分别为，如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得出直线，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系得出结果.【详解】解：设三条直线的倾斜角为，根据三条直线的图形可得，因为，当时，当时，单调递增，且，故，即故选A.【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是熟悉正切函数的单调性.2.已知，为异面直线，直线，则与（ ）A. 一定异面B. 一定相交C. 不可能相交D. 不可能平行【答案】D【解析】【分析】先假设与平行，从而推出矛盾，再将，放置在正方体中用特例进行逐一判断.【详解】解：若，因为直线，则可以得到，这与，为异面直线矛盾，故与不可能平行，选项D正确，不妨设为正方体中的棱，即为棱，为棱，由图可知，而此时与相交，故选项A错误，选项C也错误， 当取时，与异面，故选项B错误，故选D.【点睛】本题考查了空间中两条直线的位置关系，解题时要善于运用熟悉的几何体来进行验证.3.已知直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直线与直线垂直可得斜率之积为-1，从而得出直线方程.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，所以直线的方程为，即，故选B.【点睛】本题考查了两条直线垂直关系，解题的关键是熟记当两直线的斜率存在时，两条直线垂直等价于两直线斜率之积为-1.4.在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理可得结果.【详解】解：在中，可得,即，即，解得，故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.5.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）【答案】B【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右侧的射影是正方形的对角线，在右侧的射影也是对角线是虚线如图B故选B考点：简单空间图形的三视图6.设等差数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的基本量解决问题.【详解】解：设等差数列的公差为，首项为，因，故有，解得，故选A.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量法.7.直线与圆的交点为，则（ ）A. 1B. 5C. D. 【答案】C【解析】分析】先求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出，从而得出的值.【详解】解：因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线的距离为，弦长，解得：，故选C.【点睛】本题考查了直线与圆相交的位置关系，解题的关键是熟知垂径定理.8.在正方体中，分别为，的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据线线、线面的位置关系判断出结果.【详解】解：根据异面直线的定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线， 可得与是异面直线，故A选项不正确；因为，平面，平面，所以平面，所以与平面无公共点，因为平面，所以与不相交，故选项B不正确；同理与不相交，故选项C不正确；因为平面，平面，且不平行于，故与相交，故选D.【点睛】本题考查了空间中两直线的位置关系，判断空间中的两条直线位置关系可以从两直线是否共面角度、线面平行角度等等判断.9.已知，为两条不同直线，为两个不同平面.则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的定义、判定定理和性质定理等逐一判断其正误.【详解】解：选项A：若，则得到与无公共点，则与可以平行，也可以是异面，故选项A不正确；选项B：设，因为， 则因为与可以平行，也可以异面，故与可以平行，也可以是异面，也可以相交，故选项B不正确；选项C：因为， ，所以与无公共点，因为，所以与无公共点，则与异面或平行，故选项C不正确；选项D：设，若，则，同理可得：，所以，因为，所以，因为，所以，所以，选项D正确.本题选D.【点睛】本题考查了线面平行、线线平行的位置关系，解题的关键是要能根据题意熟练运用判定定理与性质定理等进行演绎推理.10.已知为圆的一条弦，为等边三角形，则的最大值为（ ）A. B. 6C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】根据图形的对称性可得出，运用正弦定理得出，从而可得的最大值.【详解】解：因为为圆的一条弦，为等边三角形，所以的垂直平分线经过点O、P，如图所示所以，在中，,即，故，故当，所以本题选A.【点睛】本题考查了直线与圆相交的问题、正弦定理解决三角形的边长问题，解题的关键是要有转化问题的意识.11.对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（ ）A. 平行B. 相交C. 垂直D. 异面【答案】C【解析】因为对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与垂直，选C12.已知圆和两点，.若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】由求出点P的轨迹是一个圆，根据两圆有公共点可得出的最大值.【详解】解：设因为，所以点P在以线段为直径的圆上，记该圆为圆，即此时点P的方程为，又因为点在圆上，故圆与圆有公共点，故得到，解得： ，故，故选B.【点睛】本题考查了轨迹思想，考查了两圆的位置关系，解题的关键是将条件转化为轨迹方程，从而解决问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据解一元二次不等式得规则进行解决问题.【详解】解：因为不等式，所以，即，故，所以不等式的解集为.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握一元二次不等式的解题规则为解题的关键，解决此类问题也可以结合一元二次函数图像解决问题.14.已知圆与圆内切，则_.【答案】【解析】【分析】根据两圆相内切的知识求解.【详解】因为圆所以，因为圆所以，因为圆与圆内切，所以，解得：，因为，所以.【点睛】本题考查了两圆相切的位置关系，熟练运用两圆相切的公式是解题的关键.15.若变量，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】-2【解析】【分析】先将题中，满足约束条件对应的可行域画出，目标函数的几何意义为一条斜率为3的直线，通过平移求解出最值.【详解】解： ，满足约束条件对应的可行域如图所示（图中阴影部分，含边界）目标函数的几何意义为一条斜率为3、截距为的直线，当直线经过点A时，直线的截距最大，最大，联立方程组，解得故.【点睛】本题考查了线性规划问题，解题的关键是要将每一个代数形式的几何意义分析到位，同时考查了数形结合的思想.16.中，过点作交于点，若，则_.【答案】【解析】【分析】设，在中求得，在中，求得，在中，利用余弦定理求解出结果.【详解】解：设，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，即，即，解得：，故,故.【点睛】本题考查了解三角形的问题，解三角形使用的常见公式为正、余弦定理，解三角形问题有时也可建系进行求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）退位相减求得出数列是等比数列，从而求解出结果；（2）求出的通项公式，根据等差数列的前项和求出.【详解】解：当时，解得，当时，-令-可得，即，因为故数列是公比为3，首项为1的等比数列，；（2）由（1）得，故数列为等差数列，且，即.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式与前项和知识，还考查了 “退位相减”的方法，解题时一定要注意对范围的考虑，一般情况下都需要对的情况进行验证.18.已知点与圆.（1）设为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（2）过点作圆的切线，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出点，借助点得出的轨迹方程；（2）利用点到切线距离等于半径，求出切线方程.【详解】解：（1）设因为线段的中点为，故，因为为圆上的动点，所以，即，即的轨迹方程；（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当切线的斜率存在时，则设切线方程为，即，故，解得：，此时切线方程为.所以切线方程为或.【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆相切的问题，解决动点轨迹常见的方法有直译法、定义法、相关点法、参数法等等，解题时应注意灵活应用.19.在中，是边上的点，.（1）求的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）直接利用余弦定理和正弦定理求出结果（2）利用（1）的结论和余弦定理求出三角形的面积试题解析：（1）在中， ，得由，得在中，由正弦定理得，所以（2）因为，是锐角，所以设，在中，即化简得：解得或（舍去）则由和互补，得所以的面积20.如图，四棱锥的底面为平行四边形，点，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若为线段上一点（不与，重合），过和的平面交平面于，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）构造平行四边形，在平面内找出一条直线与平行，从而得证；（2）利用线面平行判定定理证出平面，再使用线面平行的性质定理可得出.【详解】证明：（1）取的中点，连接，如图所示因为、是、的中点，所以，因为为的中点，所以，因为底面为平行四边形，所以，所以,所以四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面；（2）连接交于点O，连接，如图所示因为底面为平行四边形，所以O是的中点，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为为线段上一点（不与，重合），且过和的平面交平面于，所以.【点睛】本题考查了空间中直线与平面平行的问题，解题的关键是直线与平面平行的判定定理与性质定理的灵活运用，考查了演绎推理能力.21.如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为，上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为，此铝合金窗占用的墙面面积为.该铝合金窗的宽与高分别为，铝合金窗的透光面积为.（1）试用，表示；（2）若要使最大，则铝合金窗的宽与高分别为多少？【答案】（1）；（2）铝合金窗的宽为，高为时，可使透光部分的面积最大【解析】试题分析：（1）先根据题意分别求出上、下两栏的高和宽，然后利用矩形的面积公式将三个透光部分的面积求出相加，即可求解；（2）抓住进行化简变形，然后利用基本不等式进行求解，注意等号成立的条件，然后求出等号是的值即可试题解析：（1）铝合金窗宽为，高为， 又设上栏框内高度为，则下栏框内高度为，则，透光部分的面积（2），当且仅当时等号成立，此时，代入式得，从而，即当，时，取得最大值铝合金窗的宽为，高为时，可使透光部分的面积最大.考点：函数模型的选择与应用【方法点晴】本题主要考查了函数模型的选择与应用，其中解答中涉及到函数解析式的求解、基本不等式求最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中将实际