随机过程2(2.1)

.,1,第二章Brown运动,本章主要内容,Brown运动的定义及性质Brown运动有关的随机过程Brown运动的仿真,.,2,Brown运动的背景介绍,1827年英国植物学家发现布朗运动,1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个现象的数学描述.,相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数学描述这个模型非常困难.,1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布朗运动的一些结果,1918年Wiener在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式,此后该课题得到了巨大的发展,被一些列的物理学家完善,.,3,布朗运动解释为随机游动的极限,W(t)表示质点在时刻t的位置，则W(t)也表示质点直到t所作的位移，因此在时间(s,t)内，它所做的位移是W(t)-W(s),由于在时间(s,t)内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故W(t)-W(s)是大量小位移的和，由中心极限定理它服从正态分布,介质处于平衡状态，因此质点在一小区间上位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始观察的时刻无关,由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的,.,4,（Brownmotion）,称实S.P.W(t),t0是Wiener过程,如果,是相互独立的随机变量,的也称为标准运动,（）随机过程具有连续的样本轨道,二.布朗运动的定义,.,5,Wiener过程,称实S.P.W(t),t0是参数为2的Wiener过程,如果,是平稳的独立增量过程,.,6,一、直线上的随机游动,设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔t时间，等概率地向左或向右移动x的距离。以X(t)表示时刻t粒子的位置，则,其中,如果步长为x的第i步向右,如果步长为x的第i步向左,且Xi相互独立。,布朗运动定义的来源,.,7,因为,所以,当时，应有,一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限.,.,8,三Brown运动的数字特征,定理,设W(t),t0是参数为2的Wiener过程.则,证明,(1)由定义,显然成立.,(2)由(1)易知有,.,9,对s0,t0,不妨设st,则,.,10,例1SBM是正态过程,证明,设W(t),t0是参数为1的Wiener过程.则对任意的n1,以及任意的,W(t1),W(t2),W(tn)是n维随机变量,由Wiener过程的定义知,相互独立,所以,是n维正态随机变量.,.,11,又由于,所以,是n维正态变量.,所以W(t),t0是正态过程.,的联合密度函数为,其中,这是因为在W(t1)=x1的条件下，W(t2)的条件密度函数为,由此可以看出服从n维正态分布。,例2:求布朗运动W(t)的联合概率密度,解：设W(t)是标准布朗运动，对任意的t1t20,有W(at)=a1/2W(t),3.时间可逆性B(t)=W(T)-W(T-t)则B=B(t),0tT也是一个标准Brown运动,.,17,对称性的证明：,显然-W(0)=0,是相互独立的随机变量,.,18,上式表明，给定初始条件W(t0)=x0，对于任意的t0，布朗运动在t0+t时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等。这种性质称为布朗运动的对称性。,布朗运动W(t)的对称性,在W(t0)=x0的条件下，W(t0+t)的条件密度函数为,.,19,令,自相似性证明,要证X服从正态分布,.,20,时间可逆性证明：,显然B(0)=W(T)-W(T-0)=0,即,是相互独立的随机变量,.,21,4.平移不变性：B(t)=W(t+a)-W(a)，t0,a是常数，则B(t)是BM,5.尺度不变性：,是标准BM,6.马氏性：布朗运动是马氏过程,.,22,因为布朗运动是独立增量过程，所以，W(t+s)-W(s)与过程在时刻s之前的值独立。,.,23,例5设W(t)，t0是标准布朗运动，求E(W(2)W(3),E(W(2)W(3),E(W(2)W(4)W(3).,解（1）,（2）,（3）,.,25,7，布朗运动的轨道在任何区间上都不是单调的。8，布朗运动的轨道在任何点都不是可微的。9，布朗运动的轨道在任何区间上都是无限变差的。10，对于任意的t，布朗运动在0,t上的二次变差等于t。,二次变差的定义,定义：设函数f(t)在0，T上有定义，在0，T上定义一个剖分,则相应于剖分,f(t)的二次变差定义为,.,26,二次变差函数是随机微积分中最基本的定义之一,是伊藤积分等的研究对象和分析工具，,对现代分析数学和金融数学产生了深远的影响,.,27,性质8.Brown运动样本轨道的不可微性,.,28,.,29,.,30,例6设W(t)是布朗运动，求W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的分布。解令,则X是多元正态分布,具有零均值,协方差矩阵为,.,31,令,则,而,所以,.,32,补充：布朗运动的首达时与最大值,.,33,最大值与首中时的分布特性,关键的结论,.,34,一、首中时及其分布设B(t),t0为标准布朗运动，B(0)=0，令Ta=inft;t0,B(t)=a，则Ta表示首次击中a的时刻（首中时）。下面求Ta的分布函数P(Tat).由全概公式有,三.首中时、最大值变量及反正弦律,.,35,显然,又由布朗运动的对称性知，在Tat的条件下，即B(Ta)=a时，B(t)a与B(t)a是等可能的，即,于是当a0时，有,.,36,推论1：P(Ta)=1（布朗运动的常返性）,.,37,推论2：ETa=+布朗运动的零常返性,.,38,推论3：由布朗运动的对称性，有T-a与Ta有相同的分布，即P(T-at)=P(Tat).所以，对任意的a有,.,39,由推论1和推论2知，布朗运动以概率1迟早会击中a，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动从任何一点出发击中a的概率都是1。性质P(Ta)=1称为布朗运动的常返性。,二、最大值及其分布,称为布朗运动在0,t中的最大值。,利用,可得,.,40,类似地可得到布朗运动在0,t中的最小值,的分布。,三、反正弦律对任意的t1t2，记事件0(t1,t2)=至少有一个t(t1,t2),使得B(t)=0=在(t1,t2)内，B(t)=0至少有一个零点，由全概公式有,.,41,