精选幻灯片-第2章 特殊三角形1

第二章特殊三角形综合复习,(一),1,等腰三角形的性质与判定1.性质(1)：等腰三角形的两个底角相等。(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。等边三角形:1,三个角都相等的三角形是等边三角形。2,有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。,(一),2,以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DC若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBC作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.,3,分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程,已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQMN，垂足为D2、在DM上截取DA=h3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C4、连结AB、AC则ABC为所求的三角形。,例题分析,例1已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。,4,例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。,证明：AB=ACABC=ACB（等边对等角）BDAC于D，CEAB于EBEC=CDB=901+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形两个锐角互余）1=2（等角的余角相等）BM=CM（等角对等边）,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例题分析,5,例3.已知：如图，A=90，B=15，BD=DC.请说明AC=BD的理由.,解BD=DC，B=15DCB=B=15（等角对等边）ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90AC=DCAC=BD,例题分析,6,例4.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰三角形.,分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMDCME得到结果。,证明：连结CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中点CM平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角对等边）在BDE和CEM中BDMCEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形,例题分析,7,例5.如图，在等边ABC中，AF=BD=CE，请说明DEF也是等边三角形的理由.,解：ABC是等边三角形AC=BC，A=CCE=BDBCBC=ACCECD=AE在AEF和CDE中AEFCDE（SAS）EF=DE同理可证EF=DFEF=DE=DFDEF是等边三角形,说明：证明等边三角形有三种思路：证明三边相等证明三角相等证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。,例题分析,8,例7.如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q.请说明BP=2PQ的理由.,思路在RtBPQ中，本题的结论等价于证明PBQ=30,证明AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ,说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。,例题分析,9,例8：如图、在ABC中，D，E在直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD，求EAC的度数。,探索：如图、在ABC中，D，E在直线BC上，且AB=AC=CE=BD，DAE=100，求EAC的度数。,例题分析,10,1.下列结论叙述正确的个数为（）（1）等腰三角形高、中线、角平分线重合；（2）等腰三角形两底角的外角相等；（3）等腰三角形有且只有一条对称轴；（4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个,练习,11,2.等腰三角形顶角为36，底角为_。3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100，则顶角度数为_。4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为_，底角为_。5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_。6.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若A=50，EBC=_。7.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周长为50，ABD的周长为40，则AD=_。8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_。,12,9.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,13,10.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？,解：如图，令CDx，则ADx，AB2x,底边BC5,BCCD5xABAD3x,(5+x)：3x2:1或3x：(5+x)=2:1,x,x,2x,5,14,11、如图，D是正ABC边AC上的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，说明BD=DE的理由.,1,2,解:ABC是正三角形ABC=ACB=600（）D是AC边上的中点1=ABC=300（）,CE=CD2=E（）2+E=ACB=600（）E=300，1=EBD=DE（）,15,12、如图，在RtABC中，ACB=900，CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF,1,2,F,分析：,CD=CF,1=2,1=B+BAD,2=3+DAC,3=B,1=90BAD,=90CAD,ACB=90，CE是AC边上高,16,小结,1、等腰三角形的有关概念。2、等腰三角形的识别。3、应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。4、通过习题，能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。,17,例1.已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BD=EC,F,方法一：利用全等知识,方法二：利用“三线合一”,18,例2.如图，等边ABC中，B、C的平分线交于点O，OEAB，OFAC，求图中等腰三角形的个数。,解：有5个等腰三角形，分别是ABC，BOC，COF，OBCOEF。,19,例3.已知，如图，等边ABC和等边CDE中。求证：BE=AD,A,B,C,D,E,分析：要证明的两条线段分布在两个不同的三角形中，考虑先证线段所在的三角形全等，根据等边三角形的性质，易得AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=60ACB-ACE=ECD-ACEBCE=ACD，由“边角边”可证,20,将CDE绕点C逆时针旋转到如图位置，刚才的结论还成立吗？,A,B,C,D,E,变形题（1）,分析：要证明BE=AD，思想方法仍是利用“SAS”证两个三角形全等，有所不同的是这里证角等是通过“和”，即ACB+BCD=ECD+BCDACD=BCE,21,将CDE绕点C继续旋转，使B、C、D共线，刚才的结论还成立吗？,A,B,C,D,E,变形题（2）,证明：在等边ABC和等边CDE中AC=BC，CD=CE，ACB=ECD=60又B，C，D三点共线，ACE=60ACD=BCE=120在ACD和BCE中AC=BCACD=BCECD=CEACDBCE（SAS）BE=AD,分析：要证明BE=AD，思想方法仍是先证两个三角形全等，这里证角等还是通过“和”,22,已知，如图，等边ABC和等边CDE中，B、C、D共线，BC与AC交于M，AD与CE交于N。求证：CM=CN,A,B,C,D,E,变形题（3）,M,N,分析：上题已证ACDBCE所以，CBM=CAN，BE=AD，又因BC=AC，利用“边角边”条件可判定BCMCAN，结论成立。,23,已知，如图，等边ABC和等边CDE中，B、C、D共线，BE与AC交于M，AD与CE交于N，连结MN。求证：CMN是等边三角形,A,B,C,D,E,变形题（4）,M,N,分析：由上一题的结论已知CM=CN，根据等边三角形的判定方法，只要其中有一个角为60即可，根据条件易得MCN为60,24,例4、已知AB=AC，EB=EC，求证B=C,25,如图是某城市部分街道示意图，ABC和CDE都是等边三角形，A、B、C、D、E、F、G、H为公共汽车停靠站。公共汽车甲从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站。公共汽车乙从B站出发，按照B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G。如果甲、乙分别从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车行驶的速度也一样，试问哪辆公共汽车先到达指定车站。,A,B,C,D,E,拓展应用,F,G,H,26,1.如图,在三角形ABC中,AB=AC,A=36,你能把ABC分成三个等腰三角形吗?(提供两中以上不同的作图方案),A,B,C,27,28,区别与上一题,能否用剪刀剪一刀把一个等腰三角形分成两个等腰三角形？若能，求出原来的等腰三角形的顶角的度数。,29,3。已知等腰三角形ABC的底边为AB,直线L过直角顶点C.过点A,点B分别作L的垂线为AE,BF,垂足分别为E、F。（1）如图甲，当直线L不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF（2）当直线L绕点C顺时针旋转，使直线L交底边AB于点D，且ADBD，请在图乙中画出相应的图形，写出EF，AE，BF之间的等量关系。,B,F,30,1.我们学校有一块形状是等腰三角形的花坛,其中有一个角是36(如图),现想在花坛中种上三种不同的花,且形状都是等腰三角形,请你试着分一分,在图上画出来.,请你分一分,31,32,2.在纸上画出4个点,要求任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,请问这四个点怎样放?就一种情况吗?(若画