线性代数与解析几何-第三章几何向量.ppt

线性代数与空间解析几何,哈工大数学系代数与几何教研室,王宝玲,2007.9,第三章,几何向量,2,本章主要内容,几何向量的线性运算,空间中的平面与直线,数量积、向量积、混合积几何向量的坐标，用坐标表示几何向量的运算,3,引言,数学发展到变量数学时期,是以笛卡尔(1596年3月31日生于法国)解析几何的建立为起点的.,解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质的一门学科.,解析几何为微积分的出现创造了条件.,几何向量是研究空间解析几何的工具；也是研究数学中其它一些分支、力学及其它学科的工具.,4,3.1向量及其线性运算,3.1.1向量的基本概念,模:(长度、大小),几何表示:用有向线段,代数表示:用坐标(x,y,z),a=b把起点平移在一起,则完全重合.,方向相同,大小相等.,自由向量:与起点无关的向量.,5,几种特殊的向量,单位向量:,负向量:a的负向量与a大小相等方向相反,记为-a.,零向量:,记为0.零向量的方向任意或不确定.,两向量共线:,同向或反向的向量.,两向量共面:平行与同一平面的向量.,任意两向量都共面.,6,一、向量的加法,分析一下物理中的两种有方向的量:力的合成,可以引入向量加法的概念.,加法：,b,a,a+b,a,b,a+b,2.三角形法则,1.平行四边形法则,首尾相连,a起点指向b终点,c=a+b,3.1.2向量的线性运算,7,3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量,即为和向量.如,8,4.向量加法运算的性质,(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(3)零向量:a+0=0+a=a(4)反向量:a+(-a)=(-a)+a=05.向量的减法:a-b=a+(-b),两起点置一处,b终点指向a终点,a-b,9,(1)1a=a,(-1)a=-a(2)k(la)=(kl)a(3)(k+l)a=ka+la(4)k(a+b)=ka+kb,2.数乘运算的性质:,1.数乘:,二.向量的数乘,10,3.单位向量:,a0,a0=,为与a同向的单位向量.,4.平行:（共线）,注（1）,（2）ab无意义.,（3）,11,如果k0a=(-l/k)ba,b共线;如果l0b=(-k/l)aa,b共线.,5.两个向量a,b共线存在不全为零的数（平行）k,l使ka+lb=0.,a=kb或b=ka,存在k使得,ka+lb=0.,12,6.三个向量a1,a2,a3共面是存在不全为零的数k1,k2,k3使,证明思路必要性:分两种情况其中有平行向量其中两两不平行,a2,a3,a1,充分性:不仿设k1不为零,则有a1=(-k2/k1)a2+(-k3/k1)a3,13,例1,解因为平行四边形的对角线互相平分,所以,14,3.2向量的数量积,向量积和混合积,前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述.,3.2.1向量在轴上的投影,15,注：零向量与任一向量的夹角可以在0到间任意取值.向量与轴及轴与轴的夹角都是正向间不超过的夹角.,2.点在u轴上的投影：若A为空间中一点,u为一轴，过A点作垂直于u轴的平面，则与轴的交点为A,在轴上的投影.,1.向量的夹角：,16,投影轴,u1,u2,3.向量在u轴上投影:,17,u,投影轴,u1,u2,4.公式:,18,向量的线性运算可以用来解决一些几何问题.要利用向量解决更复杂的几何问题,需要引入向量的其它运算,这其中最重要的就是数量积和向量积.向量的加法是从物理中力的合力抽象出来的.向量的数量积也可以从物理中力作功的计算公式抽象出来.,3.2.2几何向量的数量积（数）,19,物理背景：一物体在常力的作用下，沿直线运动产生的位移为时，则力所做的功是:,抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算.,20,一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影.,数量积又称为点积、内积.,a,b,1.定义（数量积):,21,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）结合律：,注（1）,中未必有0向量,也可.（2）无意义.（3）数量积不满足消去律即,2.性质:,（4）,a(b-c).,3.几何应用：,（1）求模长：,（2）求夹角：,（4）求投影：,abab=0,23,设(a+3b)(7a-5b),且(a-4b)(7a-2b)，求.,解,例1,24,用数量积证明余弦定理.,例2,证,即,中,25,3.2.3几何向量的向量积,1.定义:a,b的向量积ab是一个向量,向量积也称为叉积或外积.,2.几何意义：,都非零且不共线,则,以为邻边的平行四边形的面积.,a,b,ab,模:,且a,b,ab成右手系,方向：,ba,26,（1）,（2）,（3）反交换律：,（4）结合律:,（5）分配律:,规定,3.性质:,27,(1)求平行四边形面积：,(2)求夹角：,h=|b|sina，b=,(3)求平行四边形的高：,(4)可判断向量平行:,4.几何应用：,28,证明,证由内积定义,由外积定义知,两式相加有,例3,29,(-),Bye!,预习3.2.4-3.3.2,30,前面内容回顾,向量的概念向量的线性运算:加法、减法、数乘向量的数量积向量的向量积利用向量方法证明几何命题,31,本讲主要内容,一.向量的混合积.,二.建立坐标系,把向量的运算化为坐标运算.,三.利用坐标来判断向量的位置关系.,四.空间中的平面方程点法式,三点式.,32,2.性质:,1.定义:三个向量a,b,c的混合积是一个数:,(1),(3)(叉积号与点积号互换,其值不变),3.2.4向量的混合积（数）,(2),(对换变号),(4),(轮换对称性),33,3.几何应用:,=|ab|c|cos,为以a,b,c为棱的平行六面体体积.,(1)求体积:,34,(2)a,b,c共面,abc,存在不全为0的数k、l、m使ka+lb+mc=0,35,例4,解,36,3.2.5空间直角坐标系,前面介绍的几何向量的加法,数乘,数量积，向量积及混合积的计算,都是在几何作图，下面将这些运算转化为代数运算.,1坐标系:在空间中任取一点,过点作三条相互垂直的数轴，它们都以为原点，且有相同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系，记为为横轴，为纵轴，为竖轴.习惯上轴，轴放水平面上，轴铅直向上，它们的正方向构成“右手系”，即的正方向符合“右手规则”.,一、空间直角坐标系,37,坐标系的构造,I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,如图:,38,设M为空间内一点,O,x,y,z,M,x,y,z,P,Q,R,2.点的坐标:,记,39,1.基本单位向量：分别为轴正向的单位向量,称为基本单位向量.其数量积和向量积满足：,二、向量的坐标,40,2.向量的坐标：,解,（1）,故,其中,O,x,z,x,y,z,y,R,P,Q,41,（2）若,故,即,终点坐标-起点坐标,42,3.2.6向量运算的坐标形式,记,则(1),1.向量运算的坐标形式:,(2),(3),43,(4),44,(5),45,2.向量的模及夹角:,其中,(2)方向余弦:,46,(3)单位向量:,5.a,b,c共面,47,例5,解,则,的面积为,所以高,48,例6,49,而,所以,50,3.3空间中的平面与直线,本讲主要内容,51,3.3.1空间中平面的方程,垂直与平面的非零向量都叫做平面的法向量.,（1）是平面的点法式方程.,1.点法式方程:已知平面的法向量,及,求的方程.,M0,M,法向量：,52,已知平面上不共线的三点,求平面方程.,为平面的三点式方程.,所以有,2.三点式方程:,共面,53,已知在三个坐标轴上的截距为a,b,c，,且,平面过三点P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),将其代入三点式,则对,为平面的截矩式方程.,3.截矩式方程:,54,(待定系数法）,A，B，C，D的意义：,（系数与图形的关系）,D=0-,平面过原点,A=0-,（x轴）,A=D=0-,A=B=0-,过x轴,（xoy面）,A=B=D=0-,是xoy面,若令,则(1)式可写成,注:空间中任何平面方程都是三元一次方程;,反之,三元一次方程的图形都是一个平面.,（A,B,C不全为0）,4.一般式方程:,55,面，面.,面，面.,面，面.,轴，过轴；,轴，过轴；,平面过原点;,是xoy面.,5.特殊的平面方程:,56,求过x轴,且过点的平面方程.,平面过x轴,平面方程为,显然,否则,故所求平面方程为,解法1：待定系数法,则,例1,57,解法2：三点式,平面过轴，轴上的点及在平面上,及点,由三点式可得所求平面方程,58,又点在平面上,由点法式，,解法3：点法式,故平面方程为,59,预习3.3.2-3.3.4,60,复习上一讲内容,空间中的平面方程:（A,B,C不全为0）,Ax+By+Cz+D=0,点法式,三点式,截距式,一般式,61,本节主要内容,62,3.3.2空间中直线的方程,称此向量为这条直线的方向向,方向向量:若一非零向量平行于一条直线，,量,记为.,直线位置的确定:,一点,方向向量；两点；,两相交平面.,63,M(x,y,z)L,1.标准式(点向式)方程:,64,当中有两个为0时,例,2.特殊直线方程：,则,65,已知Mi(xi,yi,zi)L,i=1，2,则,M(x,y,z)L,tT,4.两点式方程:,3.参数式方程:,66,5.一般式(交面式)方程:,一般式,标准式,参数式,注意:直线方程形式的互化,M0,s，,67,解可令,得,例2,化为标准式和参数式.,将直线,所以直线上一点为,由,68,的标准方程为:,令,的参数方程:,若令，则解得,且,69,的标准方程为:,的参数方程:,70,3.3.3距离,点-点;点-线;点-面;线-线;线-面;面-面.,1.点-点:,2.点-线:,平行四边形的高,71,解,例3,求点到直线,的距离.,72,3.点-面:,因为,Q,M0,M1,73,4.线-线(异面直线):,L2,L1,M1,M2,d,s1s2,L3,74,求两异面直线,之间的距离.,例4,解,与,75,面-面;线-线;线-面,1.平面与平面:,平行,A1A2+B1B2+C1C2=0,重合,垂直,两平面的夹角-,3.3.4位置关系,A1B1C1A2B2C2,相交,76,平行,m1m2+n1n2+p1p2=0,重合,垂直,两直线的夹角-,2.直线与直线:,77,78,直线与平面的夹角-,平行,Am+Bn+Cp=0,L在上,(M0在上),Am+Bn+Cp=0,且,Ax0+By0+Cz0+D=0,垂直,3.直线与平面:,是直线L与其在平面上的投影线的夹角,79,的法向量