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第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用,1,1、定积分的几何意义：,x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。,=-S,当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，,一、复习引入,2,如果f(x)是区间a，b上的连续函数，且F(x)=f(x)，那么:,2.微积分基本定理：,3,类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积S,1.几种典型的平面图形面积的计算：,二、新课讲解,4,类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积S,5,例题讲解,分析：首先画出草图.从图中可以看出，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求面积s.为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.,6,解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:,即两曲线的交点为(0,0),(1,1),7,(1)作出示意图;(弄清相对位置关系),(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限),(3),写出平面图形的定积分表达式；,2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。,8,例2.计算由曲线直线y=x-4以及x轴围成图形的面积.,解:作出y=x-4,的图象如图所示:,解方程组：,得：直线y=x-4与交点为(8，4)直线y=x-4与x轴的交点为(4，0),因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：,本题还有其他解法吗？,9,另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分。,还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数变形为,另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y为积分变量，,10,思考：将曲线沿x轴旋转，与直线相交于一点，求曲线与直线围成的面积。,解法1：,11,解法2：,思考：将取y为积分变量，把函数y=x-4变形为x=y+4，函数变形为,12,1.思想方法:,数形结合及转化.,2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,(1)作出示意图;(弄清相对位置关系),(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限),(3)写出平面图形的定积分表达式；,(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。,课堂小结,13,练习1.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。,解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：,
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