高考数学总复习空间角、空间距离(提高)

【巩固练习】1若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为 ()A10B10 C. D2.（2015 广西模拟）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）ABCD3正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（ ）ABCD4. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为()A30 B45C60 D905设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是（ ）A0 B2 C4 D66. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ()A相交 B平行C垂直 D不能确定7. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是() A45 B60C90 D1208.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为() A. B. C. D. 9已知 (2,2,1)， (4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_10.（2014秋 青羊区校级期中）如图，在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=2设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥MPAB、三棱锥MPBC、三棱锥MPCA的体积若f（M）=（，x，y），则的最小值是11正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_12如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.（1）证明：平面ADB平面BDC；（2）设E为BC的中点，求 与 夹角的余弦值AEDCBA1FD1C1B113如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1（1）求二面角C-DE-C1的正切值；（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值14已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC，AB1，M是PB的中点（1）证明：平面PAD平面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值15. （2015 兴安盟一模）如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点（1）求证：B1C平面A1BD；（2）求二面角A1BDA的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值【参考答案与解析】1【答案】B【解析】，ab0x10.2.【答案】A【解析】取AC的中点为F，连接BF、DF因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以EDBF过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得FBG即为所求的角因为AB=1，AC=2，BC=，所以ABC=，BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以FBG=BCA=故选A3.【答案】C4.【答案】D【解析】以D点为原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则相关点的坐标为C(0,1,0)，E(，1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)， (，1)， (1，1,0) 00. ，即CEBD.5【答案】C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，E(1，0)，C(0，1，0)设平面A1ECF的法向量为n=(x，y，z)，则由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，1)，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60而其它的面对角线所在的向量均不满足条件来源:学&科&网6.【答案】B【解析】分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a) (，0，a)又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)， (0，a,0) 0， . 是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.7.【答案】B【解析】以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0，1)， (0，1,1)， (2,0,2)cos ， .EF与BC1所成角为60.8.【答案】C【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，(a，a,0)， (0,2a,2a)，(a，a,0)， (0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1,1)sin.9【答案】(，)或(，)【解析】设平面ABC的法向量n(x，y,1)，则n 且n ，即n 0，且n0.即即n(，1,1)，单位法向量为(，)10.【答案】3+；【解析】PA、PB、PC两两垂直，且PA=3PB=2，PC=2V PABC=322=2=x+y，即x+y=，所以=（5+）3+；当且仅当时=成立；故答案为：3+；11【答案】30【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则 (2a,0,0) (a，)， (a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos ，n， ，n60.直线BC与平面PAC所成的角为906030.12【解析】(1)证明：折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1，以D为坐标原点，以 ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，0)， (，)， (1,0,0)， 与 夹角的余弦值为cos，.13【解析】（1）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有其中z0取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，n0与所成的角为二面角C-DE-C1的平面角，（2）设EC1与FD1所成角为b，则14【解析】以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，)(1)证明：因 (0,0,1)， (0,1,0)，故 0，所以APDC.由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC平面PAD.又DC在平面PCD上，故面PAD面PCD.(2)因 (1,1,0)， (0,2，1)，故| |，| |， 2，所以cos.(3)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在R，使 ，(1x,1y，z)， (1,0，)，x1，y1，z.要使ANMC，只需 0即xz0，解得.可知当时，N点坐标为(，1，)，能使 0.此时，(，1，)， (，1，)，有 0由 0， 0得ANMC，BNMC.所以ANB为所求二面角的平面角| |，| |， .cos， .平面AMC与平面BMC所成角的余弦值为.15.【解析】（1）证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，D为AC中点，PDB1C又PD平面A1BD，B1C平面A1BDB1C平面A1BD解：（2）正三棱住ABCA1B1C1，AA1底面ABC又BDACA1DBDA1DA就是二面角A1BDA的平面角AA1=，AD=AC=1tanA1DA=A1DA=，即二面角A1BDA的大小是（3