高考数学总复习概率与统计(基础)

高考冲刺 概率与统计编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看,从12分提高到17分;由其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题值得一提的是此累试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率，常以小题形式出现；随机变量取值取每一个值的概率列分布列求期望方差常以大题形式出现概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关而对于统计方面的考查，主要是考查分层抽样、系统抽样的有关计算或三种抽样方法的区别以及茎叶图，频率分布表，频率分步直方图的识图及运用考查概率与统计知识点的高考试题，既有自身概念的思想体现，如：样本估计总体的思想、假设检验的思想；又有必然与或然思想、函数与方程思想和数形结合思想【知识升华】1随机抽样(1)简单随机抽样；(2)分层抽样；(3)系统抽样2统计图表频率分布表、频率分布直方图、茎叶图3样本特征数(1)众数；(2)中位数；(3)平均数；(4)方差；(5)标准差4变量的相关性与最小二乘法5独立性检验对于值域分别是x1，x2和y1，y2的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdn则 (其中nabcd为样本容量)6概率(1)概念的统计定义；(2)两个随机事件之间的关系：包含关系；相等关系；和事件；积事件；互斥事件；(3)概率的基本性质：任何事件A的概率都在0,1内；如果事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)；事件A与它的对立事件的概率满足P(A)P()1；(4)古典概型：特征是基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性；(5)几何概型：特征是基本事件个数的无限性、每个基本事件出现的等可能性1离散型随机变量的分布列它具有两条基本性质：(1)pi0(i1,2，n)；(2)p1p2pn1，即总概率为1；(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个值的概率之和2超几何分布列3条件概率和独立事件、二项分布(1)条件概率；(2)事件的独立性；(3)独立重复实验和二项分布：此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率4离散型随机变量的均值和方差(1)均值：性质E(Y)E(aXb)aE(X)b.若X服从两点分布，则E(X)p.若X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np.(2)方差：性质D(aXb)a2D(X)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)5正态分布(1)概念；(2)正态曲线的六个特点【典型例题】类型一、古典概型与几何概型例1（1）甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球则取出的两个球是不同颜色的概率为 （2）在等腰的斜边取一点，则的概率为 【思路点拨】（1）抓住每个基本事件等可能性，建立适当的古典概率模型（2）几何概型主要有长度、角度、面积、体积等度量值之比【解析】（1）在每个盒中不同颜色的球的个数相同，从颜色考虑，在甲盒中取球有种可能，在乙盒中取球有种可能，总共有种可能，两个球颜色不同有种可能，不同颜色的概率为（2）点在上任何一个位置的可能性相等，且，则的概率为【总结升华】构建概率模型时不能忽略每个基本事件的等可能性要求。举一反三：【变式】把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算：（1）无空盒的概率； （2）恰有一个空盒的概率【答案】4个球任意投入4个不同的盒子内有种等可能的结果（1）其中无空盒的结果有种， 无空盒的概率是（2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有种，选两个球放入一盒有种，其余两球放入两盒有种，故恰有一个空盒的结果数为,恰有一个空盒的概率.例2设函数f(x)的定义域为D.(1)a1,2,3,4，b1,2,3，求使DR的概率；(2)a0,4，b0,3，求使DR的概率【思路点拨】函数定义域为R，说明其判别式不大于零，第一问中(a，b)取值个数有限，是古典概型，第二问中(a，b)的取值个数无限，是几何概型，把(a，b)看做坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可【解析】 (1)a1,2,3,4，b1,2,3，(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种而DR，有4(a1)24b20，即|a1|b|，那么满足DR的(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种，其概率为P(2)a0,4，b0,3，所有的点(a，b)构成的区域的面积12，而DR，有4(a1)24b20，即|a1|b|，满足a0,4，b0,3，|a1|b的点(a，b)构成的区域的面积为7，故所求概率P举一反三：【变式】“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式它需要参与游戏的人(三人或三人以上)同时出示手势，以手心(白)、手背(黑)来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其他人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负现在甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏设甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是_【答案】 【解析】(1)一次游戏中，甲出的方法种数有2种，乙出的方法种数也有2种，丙出的方法种数也有2种，所以总共有238种方案，而甲胜出的方案有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，2种情况，所以甲胜出的概率为类型二、等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率例3袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）计分介于20分到40分之间的概率 【思路点拨】互斥事件的概率加法公式与对立事件的概率计算【解析】1）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以（2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，即最大数字为3或4，则最大数字为3时：最大数字为4时：【总结升华】在计算互斥事件的概率时分类不清；不能利用对立事件进行快速计算举一反三：【变式】盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分 . 现从盒内任取3个球.（1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； （2）求取出的3个球中至少两个球颜色相同的概率例4袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，（1）作不放回抽样，求第二次才取到黄色球的概率（2）作有放回抽样，求第二次才取到黄色球的概率【思路点拨】“第二次才取到黄色球”是指“第一次取到白色球”与“第二次取到黄色球”同时发生【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,（） .（）【总结升华】容易混淆P(AB)与P(B/A)的含义, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率举一反三：【变式】（2015 甘肃一模）甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为p（p），且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（1）求p的值；（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E【解析】（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得（2）依题意知的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，则随机变量的分布列为：246P故例5. （2016 白山一模）某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300，绘制成如图所示的频率分布直方图（）求直方图中x的值；（）求续驶里程在200，300的车辆数；（）若从续驶里程在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为200，250）的概率【解析】（）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）50=1，x=0.003；（）由题意可知，续驶里程在200，300的车辆数为：20（0.00350+0.00250）=5；（）由（）及题意可知，续驶里程在200，250）的车辆数为3，续驶里程在250，300的车辆数为2，从这5辆中随机抽取2辆车，共有=10种抽法；其中恰有一辆汽车的续驶里程为200，250）抽法有=6种，恰有一辆车的续驶里程为200，250）的概率为=例6某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（）求该选手至多进入第三轮考核的概率.（注：本小题结果可用分数表示）【解析】（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手进入第四轮才被淘汰的概率（）该选手至多进入第三轮考核的概率【总结升华】本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力类型三、随机变量的分布列、期望与方差例7.（2016 全国I高考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【解析】每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件为第一台机器3年内换掉个零件记事件为第二台机器3年内换掉个零件由题知，设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，2216171819202122要令，则的最小值为19购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当时，费用的期望为当时，费用的期望为所以应选用【总结升华】概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的举一反三：【变式】甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.(1)求p的值；(2)设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)【思路点拨】(1)已知说明甲连续胜两局或者乙连续胜两局，根据已知的概率列方程即可求出p值；(2)比赛可以进行2局结束，题目已经给出这个概率值，根据比赛要求比赛不能进行3局即结束，这时只能是一个得2分、一个得1分，不符合要求，比赛可以4局结束，此时一个得3分、一个得1分，比赛不能5局结束，比赛5局时，只能是一个得3分、一个得2分，这时不管第六局比赛结果如何，比赛结束【解析】 (1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p2(1p)2，解得p或p.又p，故p.(2)由题意知X的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X2)，P(X4)，P(X6)，则随机变量X的分布列为X246P故E(X)246例8甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：012012PP则比较两名工人的技术水平的高低为 .【思路点拨】一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.【解析】工人甲生产出次品数的期望和方差分别为： ，；工人乙生产出次品数的期望和方差分别为：，由E=E知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DD，可见乙的技术比较稳定.【总结升华】期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.举一反三：【变式高清视频：概率与统计ID:369683 例4】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中， （i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 . 【解析】（I）（i）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的数学期望类型四、抽样方法与总体分布的估计例9某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样【思路点拨】抓住分层抽样中“按比例抽取”的本质；抓住系统抽样中“按相同的间隔规律抽取样本”的特点； 【解析】对于系统抽样应在1-27，28-54，55-81，82-108，109-135，136-162，163-189，190-216，217-243，244-270中各抽取一号，对于分层抽样应在1-108抽取4个号，109-189抽取3个号，190-270抽取3个号，故选D.【总结升华】在本例中,要能正确审清题意，否则求解思路受阻；不能把每层抽的人数转化为在哪个区间取号；（3）忽视系统抽样等距的特点，分段的临界值会出错. 举一反三：【变式】一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为_【答案】12【解析】设抽取男运动员人数为n，则，解之得n12.例10为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数（单位：1 000 km）轮胎A96，112,97,108,100,103,86,98轮胎B108，101，94，105，96，93，97，106（1）分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数，中位数；（2）分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；（3）根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？【思路点拨】（1）分析数据，利用公式与定义求平均数、中位数、标准差、极差；（2）抓住数字特征数值大小与数据稳定的关系【解析】（1）A轮胎行驶的最远里程的平均数为： 中位数为： ；B轮胎行驶的最远里程的平均数为： 中位数为：.(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为：112-86=26，标准差为： B轮胎行驶的最远里程的极差为：108-93=15，标准差为：（3）由于A和B的最远行驶里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定.【总结升华】（1）错误理解中位数、极差定义；不知用标准差反映稳定性；（2）忘记求标准差公式；（3）运算不仔细，导致计算错误.例2 某市教育行政部门为了对某应届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为为样本进行统计，已知该样本中的每个值都是40,100中的整数，且在40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100上的频率分布直方图如图191所示记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小可能值为a，最大可能值为b.(1)求a，b的值；(2)从这1000名学生中任取1人，试根据直方图估计其成绩位于a，b中的概率(假设各小组数据平均分布在相应区间内的所有整数上) 图191【思路点拨】(1)平均数的最小可能值，可以以区间的左端点值乘以各组的频率，平均值的最大可能值，可以以区间的右端点值乘以各组的频率；(2)根据求出的a，b确定在区间a，b上的样本数据的频率，用这个频率估计概率.【解析】(1)a0.05400.1500.25600.35700.15800.19067.5，b0.05500.1600.25700.35800.15900.110077.5.(2)由于分数是整数，故成绩为68,69的频率是0.25，成绩为70,71，76,77的频率为0.35，故成绩在a，b上的频率是0.250.350.33，以样本的这个频率估计总体分布的概率得出，从这1000名学生中任取1人，根据直方图估计其成绩位于a，b中的概率为0.33.【总结升华】频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法举一反三：类型五、回归分析及独立性检验例11某种设备的使用年限x和维修费用y(万元)，有以下的统计数据：x3456y2.5344.5(1)画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程(3)估计使用年限为10年，维修费用是多少？【思路点拨】(1)根据对应值组成点的坐标，画出各点即可；(2)直接套用求回归直线系数的公式，求出；(3)根据求出的回归直线方程，求x10时对应的y值，即使用年限为10年时，维修费用的估计值【解析】 (1)散点图如图：(2) ，4.5，3.5，；3.50.74.50.35，所求的回归方程为y0.7x0.35.(3)当x10时，y0.7100.357.35.当使用年限为1