高考数学必修知识讲解空间中直线与平面的位置关系提高

空间中直线、平面之间的位置关系【学习目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，并能对直线的位置关系进行分类、判断；2掌握平行公理及等角定理，并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的概念；3.了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系【要点梳理】【高清课堂：空间直线与平面的位置关系399458知识讲解1及例1】要点一：空间两直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系：(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点诠释： （1）异面直线具有既不相交也不平行的特点 （2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a，直线，ab，不能由a、b不同在平面内就误认为a与b异面，实际上，由ab可知a与b共面，它们不是异面直线 （3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示 （4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示 4.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内5.平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示为：，.公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.6.异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间中一点O，分别引直线，相交直线a、b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b形成的角，如右图所示当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.要点诠释：异面直线所成角的取值范围是；求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.【高清课堂：空间直线与平面的位置关系399458知识讲解4及例4】要点二：直线和平面的位置关系1直线和平面的位置关系（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.如果直线a和平面平行，记作.（2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交.如果直线a和平面相交于点，记作.（3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作.2直线与平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类（2）按直线是否在平面内分类 3直线与平面位置关系的图形表示和符号表示位置关系直线a在平面内直线a与平面相交（直线不在平面内）直线a与平面平行（直线不在平面内）符号表示图形表示【高清课堂：空间直线与平面的位置关系399458知识讲解5及例5】要点三：两个平面的位置关系1两个平面的位置关系（1）两个平面平行没有公共点（2）两个平面相交有一条公共直线（或至少有一个公共点）2两个平面位置关系的图形表示和符号表示位置关系图形表示符号表示公共点个数两平面平行无公共点两平面相交斜交有一条公共直线垂直且有一条公共直线3两个平面平行的画法画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的 4两个相交平面的画法（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3） （4）画出上图（3）中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图上（4）要点四:反证法所谓反证法就是证明原命题的结论的反面错误，得出结论正确，从而间接地证明原命题正确反证法证题的一般步骤：假设结论的反面成立，据此推出矛盾，从而断定原结论正确如果结论的反面情况只有一种，则只需将此否定驳倒，即可达到反证的目的，这种比较单纯的反证法称为归谬法；如果结论的反面情况不止一种，则必须将其逐一驳倒，才能推出命题结论的正确【典型例题】类型一、空间两条直线的位置关系例1过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线 【解析】证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即不同在任何一个平面内，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的因此，必须找到一个间接方法来证明，反证法即为一种行之有效的好方法 如右图，已知， 求证：直线AB和a是异面直线 证明：假设直线AB和a不是异面直线，则AB与a一定共面，设为，则， ，由公理2的推论1，即经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面，可知直线a与点B可确定一个平面，即为，则与重合 A，这与已知矛盾AB与a是异面直线 【总结升华】（1）本例的结论是一个重要的定理，即异面直线的判定定理由此可知，判定两条直线为异面直线的常用方法有： 定义法：不同在任一平面内的两条直线 定理法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线 推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线 反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即原命题的结论成立（2）运用异面直线的判定定理来判定异面直线的方法可概括为“两点一线一面”但应注意：“两点”均在“线”外；“线”在“面”内，“两点”中“一点”在“面”内，“另一点”在“面”外举一反三： 【变式1】 已知三条直线a、b、c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？试画图说明【答案】直线a与c的位置关系有三种情况： 可能平行，如下图（1）；可能相交，如下图（2）；可能异面，如下图（3） 【变式2】 如下图，已知：，ab=A，且，ca，求证：b、c为异面直线 【证明】假设b、c不是异面直线，即b、c为共面直线，则b、c为相交直线或平行直线（1）若bc=P，已知，又，则，且，从而，交点P一定在平面、的交线上，即Pa，于是ac=P，这与已知条件ac矛盾，因此b、c相交不能成立（2）若bc，已知ac，则ab（公理4），这与已知条件ab=A矛盾，因此b、c平行也不能成立综合（1）（2）可知，b、c为异面直线【总结升华】反证法在立体几何证明题中应用很普遍，我们应该弄清两个问题：一是什么样的题型适合用反证法；二是反证法实际上是证明命题的等价命题要注意若原命题的结论反面的情况不止一种时，必须将其逐一否定，才能推出命题结论的正确性类型二、平行公理与等角定理的应用例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）；（2）EA1F=E1CF1证明：（1）连接BD，B1D1，在ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以同理，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，因此，BDB1D1，又，所以EFE1F1（2）取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1B1C1，又B1C1BC，所以MF1BC所以四边形BMF1C为平行四边形，因此，BMCF1因为，且A1B1AB，所以A1MBE，所以四边形BMA1E为平行四边形，则BMA1E因此CF1A1E，同理可证A1FCE1因为EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以EA1F=E1CF1（在证明EA1F=E1CF1时，还可以通过证明A1EFCF1E1来实现，由于EF=E1F1，所以只需要证明A1F=CE1，A1E=CF1，这些只需要在这些边所在的直角三角形中，利用勾股定理即可证明）【总结升华】求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两直线无公共点，求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似举一反三：【变式1】 已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点求证：BEC=B1E1C1证明：如右图，连接EE1， E1、E分别为A1D1、AD的中点，A1E1AE， 四边形A1E1EA为平行四边形，A1AE1E 又A1AB1B，E1EB1B， 四边形E1EBB1为平行四边形， E1B1EB同理E1C1EC 又C1E1B1与CEB方向相同，C1E1B1=CEB类型三、异面直线所成的角 例3由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体，如下图1，在正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当得选取一点，作出异面直线CF，DE的平行线，并作出异面直线CF与DE所成的角 【解析】解法1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：该平面包含直线CF；该平面与DE相交于点D伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DMCF交AC的延长线于M，连接EM可以看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角如图2 解法2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：该平面包含直线CF；该平面与DE相交于点E在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连接ND，可以看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所成的角如下图3 解法3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：该平面包含直线DE；该平面与CF相交于点F在平面ADE中，过点F作FGDE与AE相交于点G，连接CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角如上图4 解法4：选取平面BCD，该平面有如下特点：该平面包含直线DE；该平面与CF相交于点C伸展平面BCD，在该平面内过点C作CKDE与BD的延长线交于点K，连接FK，则CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角如图5 【总结升华】（1）两条异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的这里我们要注意：两条异面直线所成的角的范围是090，当=90时，这两条异面直线互相垂直求两条异面直线所成的角的关键是作出与这两条异面直线分别平行的相交直线所成的角作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条直线平移到某个位置，使其与另一条直线相交或将两条异面直线同时平移到某个位置，使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当的位置一般提倡像解法2、解法3那样作角，因为此角在几何体内部，易求（2）本例多方位、多角度思考问题，思路开阔，运用知识灵活如我们异面直线所成的角的问题大有裨益，所以，同学们要认真理解举一反三：【变式1】如图所示，正方体中，E、F分别是面和的中心，则EF和CD所成的角是()A60 B45 C30 D90【答案】B【解析】连接，则E为中点，连接，又CDAB，为异面直线EF与CD所成的角，即故选B 例4（2016 上海模拟）如图：三棱锥ABCD的底面ABC是直角三角形，ACAB，AC=AB=4，DA平面ABC，E是BD的中点若此三棱锥的体积为，求异面直线AE与DC所成角的大小【思路点拨】取BC中点F，连接EF，AF，则AEF为异面直线所成的角，根据棱锥的体积和勾股定理，中位线定理求出AEF的三边长，计算AEF【答案】60【解析】DA平面ABC，三棱锥体积，DA=4，设BC中点为F，连EF，AF，则AEF是正三角形，AEF=60E是DB中点，则EFDC，AEF是AE与DC所成角即异面直线AE与DC所成角的大小为60【总结升华】求异面直线所成的角主要是用定义法求解，其步骤：（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择处于特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形（4）取舍：因为异面直线所成的角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角举一反三：【变式1】 过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线，使与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线可以作（ ）A1条 B2条 C3条 D4条【答案】D类型四、直线与平面的位置关系例5下列命题中正确命题的个数为（ ）如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】对于，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面如下图（1）中正方体ABCD-A1B1C1D1，A1B1平面ABCD， A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90，因此命题是错误的对于，如上图（1），A1B1AB，A1D1AD且AD，AB平面ABCD，A1D1，A1B1平面ABCD，A1B1平面ABCD，A1D1平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条可以想象，经过平面A1B1C1D1内一点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的，命题也是错误的 对于，我们可以继续借助正方体ABCD- A1B1C1D1来举反例，如上图（2），分别取AD，BC的中点E，F，A1D1，B1C1的中点G，H，顺次连接E、F、H、G，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，可以证明四边形EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A，D两个点到该截面的距离相等，直线AD平面EFHG=E，命题也是错误的 对于，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直 正确的命题只有一个，应选B 【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的举一反三：【变式1】 下列命题中正确的个数是（ ）如果a、b是两条直线，ab，那么a平行于过b的任何一个平面；如果直线a满足a，那么a与平面内的任何一条直线平行；如果直线a、b满足a，b，则ab；如果直线a、b和平面满足ab，a，b，那么b；如果a与平面内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面 A0 B2 C1 D3 【答案】C类型五、平面与平面的位置关系例6在以下四个命题中，正确的命题是（ ）平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行；平面内有无数条直线和平面平行，则与平行；平面内ABC的三个顶点到平面的距离相等，则与平行；平面内的两条相交直线和平面内的两条相交直线分别平行，则与平行 A B C D 【答案】D 【解析】如右图，正方体ABCDA1B1C1D1中，对于，平面A1D1DA中，AD平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF平面A1B1C1D1但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题错 对于，在正方体ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D中，与AD平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故是错的 对于，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而A1BC与平面EFHG相交，故是错的 命题是正确的，故选D 【总结升华】构造相关图形，利用空间图形的形象、直观来说明两个平面的位置关系，说服力强，令人信服，需要注意的是在作图时必须把问题涉及的各种情况都考虑清楚，而无遗漏利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，因此我们要灵活地运用这个“百宝箱”来判定两个平面的位置关系另外，像判定直线与直线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面的位置关系的有效方法，特别是在刚刚接触它之时举一反三：【变式1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的