高考数学必修知识讲解对数函数及其性质基础

对数函数及其性质【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数【要点梳理】要点一、对数函数的概念1函数y=logax(a0，a1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为2判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量要点诠释：（1）只有形如y=logax(a0，a1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。（2）求对数函数的定义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；对含有字母的式子要注意分类讨论。要点二、对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：（0，+）值域：R过定点（1，0），即x=1时，y=0在（0，+）上增函数在（0，+）上是减函数当0x1时，y0，当x1时，y0当0x1时，y0，当x1时，y0要点诠释：关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，logaN0；当a，N异侧时，logaN1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0a1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)要点四、反函数1反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如一般说来，单调函数有反函数2反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上【典型例题】类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）；（2）（3）；（4）；（5）【答案】（5）【解析】（1）中真数不是自变量，不是对数函数（2）中对数式后加2，所以不是对数函数（3）中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数（4）中底数是自变量，二非常数，所以不是对数函数（5）中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件 类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)； (2).【答案】（1）；（2）【解析】由对数函数的定义知：，解出不等式就可求出定义域.(1)因为，即，所以函数；(2)因为，即，所以函数.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证举一反三：【变式1】求函数的定义域.【答案】(1，)(，2【解析】因为， 所以，所以函数的定义域为(1，)(，2.类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例3. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)；(2)；(3)与；(4) 与(5)（）【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【答案】(1) ；(2) ；(4) ；(5) 略【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.68.9，所以； (2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.93.5，所以；(3)函数和的图象如图所示当时，的图象在的图象上方，这里，(4) (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当时，在(0，+)上是增函数，且4.24.8，所以，当时，y=logax在(0，+)上是减函数，且4.24.8，所以，解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令，则，令，则当时，在R上是增函数，且4.24.8，所以，b1b2，即当时，在R上是减函数，且4.2b2，即.【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；利用对数函数图象的互相位置关系比较大小（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小【高清课堂：对数函数369070 例1】例4利用对数函数的性质比较、的大小【答案】【解析】，只需比较与的大小即可 【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于的一个结论，得出三个数的大小举一反三：【变式1】设，则（ ）AabcBacbCbcaDbac【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可【答案】D【解析】，bac故选：D【总结升华】本题考查对数函数的单调性，对数值的大小比较，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用例5已知函数在区间2，+）上递增，则实数a的取值范围是（）A（，4）B（4，4C（，4）2，+）D4，2）【思路点拨】由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间2，+）上单调递增且f（x）0即可【答案】B【解析】令，由题意知：t（x）在区间2，+）上单调递增且t（x）0又aR+解得：4a4则实数a的取值范围是（4，4故选B【总结升华】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本举一反三：【变式1】求函数的值域和单调区间【答案】；减区间为，增区间为【解析】设，则， y=为增函数，的值域为再由：的定义域为在上是递增而在上递减，而为增函数 函数y=的减区间为，增区间为.类型四、函数的奇偶性例6. 判断下列函数的奇偶性.(1) (2).【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。【答案】（1）奇函数；（2）奇函数【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.(1)由所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称又所以函数是奇函数；【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型五、利用函数图象解不等式例7若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。【答案】【解析】 要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点由右图可知，显然这里0a1，函数递减又，即所求的a的取值范围为【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题举一反三：【变式1】 当x（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围【答案】1a2【解析】设，要使当x（1，2）时，不等式恒成立，只需在（1，2）上的图象在的下方即可当0a1时，由图象知显然不成立当a1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，的图象在的下方，只需，即，1a2类型六：对数函数性质的综合应用例8（2016春 广东揭阳月考）已知函数，其中a0且a1（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3），求使f（x）0成立的x的集合【思路点拨】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求f（x）的定义域；（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；（3）根据，可得：a=2，根据对数函数的性质即可求使f（x）0的x的解集【答案】（1）1x1；（2）f（x）是奇函数；（3）（0，1）【解析】（1）要使函数有意义，则，解得1x1，（2），f（x）是奇函数（3）若，解得：a=2，若f（x）0，则，x+11x0，解得0x1，故不等式的解集为（0，1）【总结升华】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要