高考数学必修知识讲解解三角形应用举例基础

解三角形应用举例编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.【要点梳理】要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.要点诠释：要点二、解三角形应用题的基本思路实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0360。如图，点的方位角是。方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）. 东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四、解三角形应用中的常见题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高【典型例题】类型一：距离问题例1. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和(1)设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12，18.45，求CD的长(结果精确到0.01米)【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.【思路点拨】(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。【解析】(1)设CD的长为x米，则tan，tan，tantan2，即，解得0，即CD的长至多为28.28米(2)设DBa，DAb，CDm，则ADB180123.43，由正弦定理得，即，答：CD的长为26.93米【总结升华】1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。举一反三：【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.【答案】在中，由余弦定理得.答：隧道长约为409.2 m.类型二：高度问题【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】例2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.【思路点拨】画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。【解析】如图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得在中，在中，（米）故所求塔高为米【总结升华】 注意仰角的概念。举一反三：【变式1】(2015 湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_m. 【答案】.【解析】在ABC中，CAB=30，ACB=7530=45，根据正弦定理知，即，所以，故应填.【变式2】（2016 中山市模拟）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC=15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC=45，根据以上数据可得cos=_。 【答案】DAC=15，DBC=45，ADB=30，在ABD中，由正弦定理得，即，。在BCD中，由正弦定理得，即，。故答案为：。【变式3】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。【答案】方法一：用正弦定理求解由已知可得在ACD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =， 因为sin4=2sin2cos2，,得在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度为15m。方法二：设方程来求解设DE= x，AE=h在RtACE中,(10+ x) + h=30在RtADE中,x+h=(10)两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2=答：所求角，建筑物高度为15m。方法三：用倍角公式求解设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m ,AD=CD=10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=- 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度为15m。类型三：角度问题AB例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【思路点拨】（1）要弄清方位角的概念，ABDC（2）画出示意图很关键，同时还要设好未知数，标注出来。【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点 此时,甲、乙两船相距最近【总结升华】在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角、与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化.举一反三：【变式1】（2016 益阳模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处。在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是（ ）A海里 B海里 C海里 D海里【答案】如图，已知可得，BAC=30，ABC=105，AB=2，从而ACB=45。在ABC中，由正弦定理，得。故选A。【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A. B. C. D.【答案】B 【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45方