高考数学必修知识讲解三角恒等变换综合提高

三角恒等变换综合【学习目标】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】简单的三角恒等变换三角恒等变换两角和与差的三角函数公式倍角公式【要点梳理】要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式= ； ； ；要点诠释： 1公式的适用条件(定义域) ：公式、对任意实数，都成立，这表明、是R上的恒等式；公式中2正向用公式、，能把和差角的弦函数表示成单角，的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简要点二：二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式： ； ； 要点诠释：1在公式中，角没有限制，但公式中，只有当时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用3. 二倍角公式不仅限于2和的二倍的形式，其它如4是2的二倍，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键要点三：二倍角公式的推论升幂公式：， 降幂公式：； ； .要点四：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：1三角函数式的化简（1）常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数2三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角3三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明【典型例题】类型一：正用公式例1已知:，求的值.【思路点拨】因为不知道角所在的象限，所以要对分别讨论求的值【解析】由已知可求得.当在第一象限而在第二象限时，.当在第一象限而在第三象限时，.当在第二象限而在第二象限时，.当在第二象限而在第三象限时，.【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的举一反三：【变式1】已知，求的值【答案】【解析】例2（2015春 四川雅安期中）已知，且，（1）求的值；（2）已知，且，求【思路点拨】（1）由给出的角的范围得到，的范围，从而求得对应角的异名三角函数值，进一步求出的余弦值，由倍角的余弦公式求得的值；（2）由已知求得的正切，再由展开两角和的正切得的正切值，结合角的范围得答案【答案】（1）；（2）【解析】（1），则，；（2），且，举一反三：【变式1】（2017 陕西长安区月考）（1）已知，（0，90），求sin（15）的值（2）已知，且，求的值【思路点拨】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（15+）的值，进而利用诱导公式，两角和的余弦函数公式可求sin（15）的值（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin的值，求出的范围，然后求出sin，sin（）的值，即可求解cos然后求出的值【答案】（1）；（2）【解析】（1），（0，90），（2），且，0，【变式2】已知求的值【答案】【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系），又 于是有.类型二：逆用公式例3.求值：（1）； （2）.【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算（1）利用将视为,将视为，则式子恰为两角和的正切.【答案】（1）（2）【解析】（1）原式；（2）原式= .【总结升华】（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”（2）辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定. 举一反三：【变式1】化简：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【变式2】已知，那么的值为（ ）A B C D 【答案】A； 【解析】，.例4. 求值：（1）；（2）【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦 【答案】（1）1/4 （2）1/8【解析】（1）原式=；（2）原式= 【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：余弦相乘；后一个角是前一个角的2倍；最大角的2倍与最小角的和与差是p三个条件缺一不可另外需要注意2的个数应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法举一反三：【变式】求值：【答案】1/8【解析】原式=类型三：变用公式例5在中，求值：【答案】1【解析】，原式=例6. 化简：（1）；(2）【思路点拨】（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“”和“”的互余关系，注意逆用和角公式化简；（2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到这个关系【答案】（1）1（2）1【解析】（1）原式=（2）原式=【总结升华】（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.举一反三：【变式1】化简：（1）；（2）； （3）【答案】（1）4（2）4（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=.【变式2】若，且，则_.【答案】【解析】由，得，.例7已知，求的值【思路点拨】 先分析所求式 ,分子、分母均为已知条件中和差角的展开式的项【答案】【解析】，解得, ，.举一反三：【变式1】若、是方程的两根，求的值【答案】【解析】由已知 ，因而应将所求式转化成已知的结构， =类型四：三角函数知识的综合应用例8函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.()求的值及函数的值域;()若,且,求的值.【答案】() ()【解析】()由已知可得: =3cosx+ 又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4 所以,函数 所以,函数 ()因为()有 由x0 所以, 故 【总结升华】本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想. 举一反三：【变式1】（2015 湖南岳阳模拟）已知函数（0，m0）的最小值为2，且图象上相邻两个最高点的距离为（1）求和m的值；（2）若，求的值【答案】（1）=2，；（2）【解析】（1）函数（0，m0），所以，又由已知函数f（x）的最小正周期为，所以，=2（2）由（1）得，所以，【变式2】已知向量,函数的最大值为6.()求;()将函数的图象向左平移个单位,再将所得图