高考数学必修知识讲解几类不同增长的函数模型基础

几类不同增长的函数模型【学习目标】1借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异2结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义3通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓【要点梳理】 要点一：几类函数模型的增长差异 一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；3对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型 若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数（3）指数函数模型（a、b、c为常数，a0，b0，b1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型（4）对数函数模型（m、n、a为常数，a0，a1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型（5）反比例函数模型当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1（1）已知函数，分别求在（1，0）、0，3）、3，5）、5，+）上的零点及总个数（2）比较2x与x2的大小关系（3）通过作图，比较2x、x2、log2x的大小关系【答案】（1）3 （2）略（3）略【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小 （1）应用计算器或计算机，以合适的长列出自变量与函数值的对应值表x210246y=2x0.250.5141664y=x241041636y=2xx23.750.510028x810121416y=2x256102440961638465536y=x26410014196256y=2xx219292439521618865280应用二分法可求得（1，0）中x0.7666，0，3）中x=2.000，3，5）中x=4.000，5，+）中无零点共有3个零点，分别为x10.7666，x2=2.000，x3=4.000（2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x，y=x2，y=log2x的图象，如图所示当x（，0.7666）时，2xx2；当x（0.7666，2.000）时，2xx2；当x=0.7666时，2x=x2；当x（2.000，4.000）时，2xx2；当x=2.000时，2x=x2；当x（4.000，+）时，2xx2；当x=4.000 ，2x=x2（3）当x（，0.7666）时，2xx2；log2x不存在；当x（0.7666,0）时，2xx2；log2x不存在；当x=0.7666时，2x=x2；当x（0，2.000）时，log2xx22x；当x（2.000，4.000）时，log2x2xx2；当x=2.000时，log2x2x=x2；当x（4.000，+）时，log2xx22x；当x=4.000时，log2xx2=2x【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+）上必存在一个x0，使得当xx0时，logaxxnax（a1）恒成立但在（0，x0）上，该不等式不一定成立举一反三：【变式1】（2015 北京高考）三个数中最大的数是 【答案】【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题，所以最大故答案为：类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例1】例2假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三【解析】设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型如图举一反三：【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某市每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法，具体规定如下：用电量（千瓦时）电费（元|千瓦时）不超过200的部分0.56超过200至300的部分0.64超过300的部分0.96解答以下问题：（1）写出每月电费（元）与用电量（千瓦时）的函数关系式； （2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？【答案】（1）；（2）350【解析】（1）当时， 当时， 当时， （2）由（1）知 由，得x=350 该家庭月用电量为350千瓦时例3（2016 江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：，当mn0时，称不亏损企业；当mn0时，称亏损企业，且nm为亏损额（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？【思路点拨】（1）通过解不等式mn0，计算即得结论； （2）通过（1）可知当0x4时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x=1时，nm取最大值【解析】（1）依题意，mn0，即，整理和：，解得：x4或x2（舍），企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；（2）由（1）可知当0x4时企业亏损，亏损额，当x=1时，nm取最大值，答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例3】【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，AOB是边长为2的等边三角形，设直线x = t（0t2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数y = f（t）的图象大致是（ ）ABOx =t 【答案】D【解析】 函数 故选 D 例4按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题 已知本金为a元1期后的本利和为y1=a+ar=a(1+r)；2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；3期后的本利和为y3=a(1+r)3；x期后的本利和为y=a(1+r)x将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得y=1000(1+2.25%)5=10001.02255由计算器算得y=1117.68（元）答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为_元【答案】219.01【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？【答案】（1）y=100（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律（1）1年后该城市人口总数为：y=100+1001.2%=100(1+1.2%)；2年后该城市人口总数为：y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y=100(1+1.2%)3；x年后该城市人口总数为：y=100（1+1.2)x（2）10年后，人口总数为：100(1+1.2%)10112.7（万人）（3）