高考数学选修巩固练习 数学归纳法（理）

【巩固练习】一、选择题1. 用数学归纳法证明1+1)时，第一步即证下述哪个不等式成立（ ）A.12 B.1+2C.1+2 D.1+22用数学归纳法证明等式135(2n1)n2(nN*)的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A135(2k1)k2B135(2k1)(k1)2C135(2k1)(k2)2D135(2k1)(k3)23满足12+23+34+n(n+1)=3n23n+2的自然数n等于（ ） A1 B1或2 C1，2，3 D1，2，3，44.（2015春 邢台期末）用数学归纳法证明对任意正整数n，都有的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子为（ ）A B C D5记凸k边形的内角和为，则凸（k+1）边形的内角和_A B C D6某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下： （1）当n=1时，S1=a1显然成立（2）假设当n=k时，公式成立，即，当n=k+1时， n=k+1时公式成立 由（1）、（2）知，对nN*公式都成立以上证明错误的是（ ） A当n取第一个值1时，证明不对 B归纳假设的写法不对 C从n=k到n=k+1时的推理中未用归纳假设 D从n=k到n=k+1时的推理有错误7某个命题与自然数有关,若时得命题成立,那么可推得时命题也成立.现在已知当时,命题不成立,那么可推得( )A时命题不成立B时命题成立C. 时命题不成立D时命题成立二、填空题8（2014春 徐汇区校级期末）用数学归纳法证明“2nn2+1对nn0的自然数都成立”时，第一步中的值n0应取_。9已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*），试归纳猜想Sn的表达式为_10.设，则除以20的余数为 。11. （2014春 姜堰市校级期末）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加的项是_。三、解答题12. 用数学归纳法证明: nN*时,+=.13.求证：能被6 整除. 14.已知n为正整数.用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)n1+nx.15.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式.【答案与解析】1.【答案】C【解析】n=2时，左边=1+，右边=2.所以应证1+2.2.【答案】B. 【解析】nk1时，等式左边135(2k1)(2k1)k2(2k1)(k1)2.故选B.3【答案】C 【解析】 当n=1，2，3时满足，当n=4时，左边=12+23+34+45=40，右边=34234+2=38。所以左边右边。即n=4不满足，故选C。4. 【答案】C【解析】当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果，即为不等式的左边增加的项，故选：C。5【答案】B 【解析】由凸k边形变为凸（k+1）边形时，增加了一个三角形，故f（k+1）=f（k）+。6【答案】C 【解析】 在此同学的证明过程中，并未使用“假设n=k时，”这个条件，不符合数学归纳法的证明步骤。故选C。7【答案】C【解析】易知原命题的逆否命题为：若时命题不成立，则时命题不成立8【答案】5【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12=2，2nn2+1不成立，n=2时，左=22=4，右=22+1=5，2nn2+1不成立，n=3时，左=23=8，右=32+1=10，2nn2+1不成立，n=4时，左=24=16，右=42+1=17，2nn2+1不成立，n=5时，左=25=32，右=52+1=26，2nn2+1成立，因为n5成立，所以2nn2+1恒成立。故答案为：5。9【答案】 【解析】 a1=1，S1=1，可归纳出。10.【答案】9【解析】取，则，被20除余数为9.11. 【答案】【解析】用数学归纳法证明等式的过程中，假设n=k时不等式成立，左边，则当n=k+1时，左边，由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：，故答案为：。12. 【解析】（1）当n=1时,左边=,右边=,左边=右边,所以等式成立.（2）假设当n=k(kN*)时等式成立,即有+=,则当n=k+1时, +=+=,所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切nN*等式都成立.13. 【解析】. 当时，13+51=6能被6整除，命题正确；. 假设时命题正确，即能被6整除，当时，两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，能被6整除，即当时命题也正确，由知命题时都正确.14. 【解析】（1）当n=1时，原不等式成立；当n=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x20,所以左边右边，原不等式成立；（2）假设当n=k(k1,kN*)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当n=k+1时，x-1,1+x0.于是在不等式(1+x)k1+kx两边同时乘以1+x得(1+x)k（1+x）(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当n=k+1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数n,不等式都成立.15. 【解析】（1）an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=，猜想Sn=（nN*）.（2）当n=1时，S1=1成立.假