高考数学选修知识讲解 独立重复试验与二项分布（理）

独立重复试验与二项分布 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1理解n次独立重复试验模型及二项分布 2能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题【要点梳理】要点一、n次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。要点诠释：在次独立重复试验中，一定要抓住四点：每次试验在同样的条件下进行；每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生； 每次试验中，某事件发生的概率是相同的；各次试验之间相互独立。总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：（k=0，1，2，n）令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。要点诠释：1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便要点三、n次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。要点四、离散型随机变量的二项分布1. 定义：在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是，（）于是得到离散型随机变量的概率分布如下：01knP由于表中第二行恰好是二项展开式中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次；其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。2如何求有关的二项分布（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；（3）用表格形式列出随机变量的分布列。【典型例题】类型一、独立重复试验的概率例1 有一批种子，每粒发芽的概率为0.90，播下5粒种子，计算： （1）其中恰有4粒发芽的概率（结果保留两个有效数字）； （2）其中至少有4粒发芽的概率（结果保留两个有效数字） 【思路点拨】 播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验利用独立重复试验公式即可 【解析】 （1）播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式，5粒种子恰好4粒发芽的概率为 （2）5粒种子至少有4粒发芽的概率，就是5粒种子恰有4粒发芽与5粒种子都发芽的概率的和， 即【总结升华】 解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值举一反三：【变式1】某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率【答案】（1）记“预报1次，结果准确”为事件则，且预报5次相当于5次独立重复试验，故5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率： 【变式2】（2015秋 青海校级期末）若，则等于（ ）A B C D【答案】D。【变式3】某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）【答案】记事件“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率，所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题1】例2实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜（即5局内谁先赢3局就算胜出，并停止比赛）（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）按比赛规则甲获胜的概率。【思路点拨】首先要真正弄明白打完4局、5局才能取胜的比赛具体情况。【解析】（1）甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲、乙获胜的概率均为，记事件A=“甲打完3局就取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，记事件C=“甲打完5局才能取胜”。甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜甲打完3局取胜的概率为甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负甲打完4局才能取胜的概率为甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负甲打完5局才能取胜的概率为(2)事件“按比赛规则甲获胜”，则，又因为事件、彼此互斥，按比赛规则甲获胜的概率为 【总结升华】在“五局三胜制”的规则下，比赛不一定要打满五局，这就要根据实际比赛情况分类讨论，切不可盲目套用n次独立重复试验概率公式，否则会得到错误的结论。本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛4局，甲以3：1获胜，须前三局中甲胜二局负一局，第四局甲胜 举一反三：【变式】甲乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采取三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？【答案】三局两胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜两局；甲前两局中胜一局，第三局胜故P(甲获胜)0.620.620.40.648.五局三胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜三局；甲前三局中胜两局，第四局胜；甲前四局中胜两局，第五局胜故P(甲获胜)0.630.630.40.630.420.683.可以看出五局三胜制对甲有利，并由此可以猜测比赛的总局数越多甲获胜的概率越大因此，为使比赛公平，比赛的局数不能太少类型二、离散型随机变量的二项分布例3.已知一袋中装有6个黑球，4个白球，有放回地依次取出3个球，求取到的白球个数X的分布列。【思路点拨】有放回地依次取出3个球，相当于三次独立重复试验，其取到的白球个数X服从二项分布，即，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。【解析】设“取一次球，取到白球”为事件A，可得，因为这三次摸球互不影响，所以。所以离散型随机变量X的分布列为X0123P【总结升华】本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量X服从二项分布，即，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。举一反三：【变式1】（2015春 葫芦岛期末）设随机变量服从XB（2，P），YB（3，P），若，则P（Y=2）=_【答案】 随机变量服从XB（2，P），故答案为：【变式2】9粒种子分别种在3个坑内，每个坑内种3粒种子，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有一粒种子发芽，则这个坑就不需要补种，若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑就需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种子1次需10元，写出补种费用X的分布列。（精确到0.01）【答案】因为单个坑内3粒子种都不发芽的概率为，所以单个坑内不需要补种的概率为；3个坑都不需要补种的概率为；恰有1个坑需要补种的概率为；恰有2个坑需要补种的概率为；3个坑都需要补种的概率为。所以补种费用X的分布列为X0102030P0.6700.2870.0410.002【变式3】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布 【答案】错解： X的可能取值是1，2，3，4 P（X=1）=0.8； ； 所以X的概率分布列为X1234P0.80.320.0960.0256 错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k1）次试验中都出现 正解 X的可能取值是1，2，3，4 P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.20.8=0.16； P（X=3）=0.220.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008所以X的概率分布列为X1234P0.80.160.0320.008类型三、独立重复试验与二项分布综合应用例4某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；（2）其中恰有3次击中目标的概率；（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。【思路点拨】由于“每次射击击中目标”的概率相同，各次射击的结果互不影响，相互独立，所以射击5次，即为5次独立重复试验。【解析】（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为；（2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有种情况。故所求概率为；法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型。该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为；（3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况。故所求概率为。【总结升华】注意“恰有k次发生”和“某指定的k次发生”的差异。举一反三：【变式1】某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？【答案】设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次记事件“射击一次，击中目标”，则射击次相当于次独立重复试验，事件至少发生1次的概率为由题意，令，至少取5答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次【变式2】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？【答案】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立，故答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题5】【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列.【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为6分（2）的可能值为0,1,2,3P(=k)=(k=0,1,2,3)所以中奖人数的分布列为0123P例6一袋中装有分别标记着1、2、3、4 数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为.(1) 求=3时的概率; (2) 求的概率分布列.【思路点拨】取出的三个球中数字最大者为3的事件分为三类，每类为典型的独立重复试验。【答案】 (1) =3表示取出的三个球中数字最大者为3三次取球均出现最大数字为3的概率 P1=三取取球中有2次出现最大数字3的概率三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率三次取出的球中数字最大的数为3的概率(2) 在=k时, 利用(1)的原理可知: (k=1,2,3,4). 的概率分布列为: 1 2 3 4 P【总结升华】本题主要考查限制条件下的概率计