高考数学选修知识讲解 合情推理与演绎推（理）

合情推理与演绎推理 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。2. 理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.【要点梳理】要点一、推理的概念及分类1. 推理的概念：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论 要点诠释：（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么 （2） 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为，所以”“根据，可知”“如果，那么”等2. 推理的分类：（1） 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理合情推理的推理过程 要点诠释： 由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用（2） 演绎推理：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理 要点二、归纳推理1.定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。2归纳推理的特点 （1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理； （2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行； （4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段要点诠释：归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.3运用归纳推理时的一般步骤（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；（3）对所得出的一般性命题进行检验在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明 4完全归纳法和不完全归纳法（1）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用 （2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验在本书中，如无特别说叫，归纳法都足指不完全归纳法 要点三、类比推理1定义： 类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式 2类比推理的几个特点 （1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果； （2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； （3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能 3运用类比推理的一般步骤 （1）找出两类事物之间的相似性或一致性（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）（3）检验猜想.要点诠释： （1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假 要点四、演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况作出的结论.要点诠释： 如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理 三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题结论（3）用集合的观点理解“三段论”若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质.要点诠释： 演绎推理的结论一定正确演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系（1）从推理模式看：归纳推理是由特殊到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的推理（2）从推理的结论看：合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。演绎推理所得的结论一定正确。（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路. 要点诠释： 注意： 在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明【典型例题】类型一、归纳推理例1用推理的形式表示等差数列1，3，5，（21），的前项和的归纳过程.【思路点拨】依题意，表示数列的前项和，即Sn=1+3+5+（21）.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式.【解析】对等差数列1，3，5，（21），的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：；观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想.【总结升华】本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.举一反三：【变式1】在数列中，a1=1，且，计算a2，a3，a4，并猜想的表达式.【答案】， ，猜想：.【变式2】已知正项数列an满足求出a1，a2，a3，a4，并推测an【答案】令n=1，则，即，。又a10，a1=1。令n=2，则，即，即(a2+1)2=2。a20，。令n=3，则，即。，即，a30，。当n=4，则，即，即。a40，。，。归纳可得（nN*）。例2（2014春 湖北期末）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形。 （1）求出f（5）； （2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式。【思路点拨】（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，从而得出f（5）；（2）将（1）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得。【解析】（1）f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，f（2）f（1）=4=41，f（3）f（2）=8=82，f（4）f（3）=12=43，f（5）f（4）=16=44f（5）=25+44=41。（2）由上式规律得出f（n+1）f（n）=4n。f（2）f（1）=41，f（3）f（2）=42，f（4）f（3）=43，f（n1）f（n2）=4（n2），f（n）f（n1）=4（n1）f（n）f（1）=41+2+（n2）+（n1）=2（n1）n，f（n）=2n22n+1。【总结升华】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题。举一反三：【高清课堂：401470 例题1】【变式1】根据给出的数塔猜测1234569+7等于 19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111【答案】1111111。根据数塔中的位数规律可得。【变式2】平面内的条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？【答案】一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，n条时比原来多了n部分因为n=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a3=a2+3，n=4，a4=a3+4，n=n，an=an-1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+n=1+=【高清课堂：401470 例题1】【变式3】根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.( ) A.B.C.n+1D. 【答案】D 第(2)个图形,中间有1个点,另外的点指向两个方向,每个方向一个点,共有个点; 第(3)个图形,中间有1个点,另外的点指向三个方向,每个方向两个点,共有个点; 第(4)个图形,中间有1个点,另外的点指向四个方向,每个方向三个点,共有个点; 第(5)个图形,中间有1个点,另外的点指向五个方向,每个方向四个点,共有个点; 由上面的变化规律,可猜测,第n个图形中心有1个点,另外的点指向n个方向,每个方向n-1个点,共有n(n-1)个点. 类型二：类比推理例3. 已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.【思路点拨】从方法的类比入手。【解析】原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高的【总结升华】类比推理不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，本题的类比推理为：平面向空间类比，低维向高维类比。 举一反三：【变式】在中，若，则，请在立体几何中，给出类似的四面体性质.【答案】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体，且三个面与面所成的二面角分别是，类比直角三角形的性质猜想四面体的性质.如图所示，在中，.于是把结论类比到四面体中，若三个侧面、两两互相垂直且分别与底面所成的角为，则. 例4 设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 的值为_。【思路点拨】）本题明确要求应按课文推导等差数列前n项和的方法倒序相加法来解题，所以可依此类比实验。【解析】 设，则，易证明。+得，得，即。 【总结升华】 本类型题解题的关键在于，在解题方法（或公式）中，获得使用方法（或公式）的启示，或推导方法（或公式）的手段，从而指导解决新问题。举一反三：【变式】通过计算可得下列等式： 2212=21+1， 3222=22+1 4232=23+1， (n+1)2n2=2n+1。将以上各等式两边分别相加得：(n+1)212=2(1+2+n)+n，即 。（1）类比上述求法，请你求出12+22+32+n2的值。（2）根据上述结论试求12+32+52+992的值。【答案】（1）2313=312+31+1， 3323=322+32+1， 4333=332+33+1， (n+1)3n3=3n2+3n+1。将以上各式两边分别相加得(n+1)313=3(12+22+n2)+3(1+2+n)+n，。（2）12+32+52+992 =12+22+32+1002(22+42+62+1002) =12+22+32+10024(12+22+32+502) =10010120145051101=166650。类型三：演绎推理 例5. 用三段论的形式写出下列演绎推理 （1）菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂直 （2）若两个角是对顶角，则此两角相等，所以若1和2不相等，则1和2不是对顶角 （3）是有理数【解析】 （1）菱形的对角线互相垂直 （大前提） 正方形是菱形 （小前提） 正方形的对角线互相垂直 （结论） （2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提） 1和2不相等 （小前提） 1和2不是对顶角 （结论） （3）所有的循环小数都是有理数 （大前提） 是循环小数 （小前提） 是有理数 （结论）【总结升华】在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原理和特殊情况间的联系我们早已能自发地使用三段论来进行推理，学习了三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法举一反三：【变式1】（2015春 泰安期末）将演绎推理“函数y=2x+1的图象是一条直线。”恢复成完全的三段论形式，其中大前提是_。【答案】将演绎推理“函数y=2x+1的图象是一条直线。”恢复成完全的三段论形式，其中大前提是一次函数的图象是一直直线，故答案为：一次函数的图象是一条直线【变式2】把下列演绎推理写成三段论的形式在一个标准大气压下，水的沸点是100，所以在一个标准大气压下把水加热到100时，水会沸腾【答案】 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100；小前提：在一个标准大气压下把水加热到100；结论：水会沸腾例6. 已知：在空间四边形中，、分别为、的中点，用三段论证明：平面【解析】连结三角形两边中点的连线是三角形的中位线大前提而、分别两边、的中点，小前提是的中位线.结论三角形的中位线平行于第三边大前提而是的中位线，小前提.结论平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行 大前提在平面外，在平面内，且，小前提所以平面.结论【总结升华】三段论是演绎推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断.