高考数学选修知识讲解 立体几何中的向量方法（基础）

立体几何中的向量方法编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 理解直线的方向向量与平面的法向量。2. 能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。3. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。4. 能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。 【要点梳理】要点一、直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。要点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。2. 平面的法向量定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为n=（x，y，z）； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量要点二、用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。（1）线线平行设直线，的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即。（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即。根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。（3）面面平行由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明。要点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。（1）线线垂直设直线，的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即。（2）线面垂直设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。（3）面面垂直根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。证明两个平面的法向量互相垂直。要点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则。要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有。（3）求二面角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则AEB为二面角的平面角，AEB+APB=180。若分别为面，的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。要点五、 用向量方法求空间距离1. 求点面距的一般步骤：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。2. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。【典型例题】类型一、求平面的法向量例1.已知点,，求平面的一个法向量。【思路点拨】利用待定系数法，列方程组求面ABC的法向量。【解析】，设面ABC的法向量，则且，即，即，解得，令，则向量为平面的一个法向量.【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量。举一反三：【变式1】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，如图建立空间直角坐标系，则平面AB1C的一个法向量为（ ）A（1，0，1） B（1，1，0） C（1，1，1） D（1，1，2）【答案】C分别写出、的坐标，去验证四个向量中的哪个向量与、均垂直即可。【变式2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，求平面CD1E的一个法向量。【答案】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），所以E（1，1，0）所以，。设平面CD1E的法向量=（x，y，z），则：，。所以，所以。令y=1，则x=1，z=2。所以平面CD1E的一个法向量为（1，1，2）。类型二、利用向量研究平行问题 例2、如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面,，为的中点，为的中点，求证：直线平面。【思路点拨】证明直线的方向向量和平面的法向量垂直。【解析】如图,分别以AB,AD,AO所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则,法一：,共面又平面，平面,平面,平面法二：设平面的法向量为,则，即 ，取,得，又平面，平面。【总结升华】立体几何中的证明线面平行（），一般先求出平面的法向量是，再证明，即。举一反三：【变式1】在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B和AC上的点，。求证：MN平面BB1C1C。【答案】如图，建立空间直角坐标系，则A1（a，a，0），B（a，0，a），C（0，0，a），A（a，a，a），则，所以。而平面BB1C1C的一个法向量为。所以，所以。FyEMxzD1C1B1A1CDBA所以MN平面BB1C1C。【变式2】（2015 邹城市校级模拟）设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k=（ ）A2 B4 C2 D4【答案】D【解析】平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由题意可得，k=4。故选：D。例3已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D 和B1A上任一点，求证：平面A1EF平面B1MC【解析】如图建立空间直角坐标系， 则（1，1，0），（1，0，1） （1，0，1）， （0，1，1）设，（、 ，且均不为0） 设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量， 由 可得 即 解得：（1，1，1） 由 可得 即 解得（1，1，1），所以， ， 所以平面A1EF平面B1MC【总结升华】证两个面、平行，只需求出平面、的法向量，再证出即可。举一反三：【变式】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。求证：平面EGF平面ABD。【答案】如图所示，由条件，知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA、BC、BB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标。由条件知B（0，0，0）、D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA=a，则A（a，0，0）。所以，。，。所以B1DBA，B1DBD。因此B1D平面ABD（1）由E、F、G的定义，知E（0，0，3）、F（0，1，4）。所以，。所以B1DEG，B1DEF。所以B1D平面EFG。结合（1），可知平面EGF平面ABD。类型三、利用向量研究垂直问题 例4. 如右图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是Pc的中点，作EF上PB交PB于F，证明： （1）直线PA平面EDB； （2）直线PB平面EFD 【思路点拨】线面的平行、垂直的问题，建立恰当的空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，本题的“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题。【解析】 以DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设PD=DC=2，则得下列各点的坐标D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2） （1）E是PC的中点，E（0，1，1），- ， 。 又PA平面EDB，PA平面EDB （2）， 又， ，BPDE又BPEF，且EFDE=E所以直线PB平面EFD【总结升华】证明线面垂直，需要证明这条直线对应的向量和平面内两条相交直线对应的向量的数量积均为0举一反三：【变式】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F平面ADE.【答案】如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设i，j，k，以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz，则（，0，），(0,-1)，(-1，0，0)(0，-1)0，ADD1F.又(0，1，)，(0，-1)，(0，1，)(0，-1)-0.AED1F，又AEADA， D1F平面ADE.例5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2，E、F分别是BB1，CD的中点。求证：平面平面【解析】如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)，D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0),，,即，又，平面，平面,平面平面.【总结升华】（1）用向量法证明面面垂直，就是证两个面的法向量的数量积为0；设，则。（2）建立恰当的直角坐标系可以简化向量法解决问题时的计算量。 举一反三：【变式】平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，求证:平面AGC平面BGC；【答案】如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）， 设平面AGC的法向量为，设平面BGC的法向量为， 即 平面AGC平面BGC；类型四、利用向量求空间角 【高清课堂：立体几何中的向量方法399112例题1】例6. 如图，在正方体中，点，分别是,的一个四等分点，求与所成的角的余弦值【思路点拨】与所成的角就是，所成的角或它的补角因此，我们可以通过，的坐标表示，计算出它们的数量积与模，进而求出它们所成角的余弦值【解析】不妨设正方体的棱长为1，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则所以,所以,因此，与所成的角的余弦值是【总结升华】用空间向量法来研究两条异面直线所成的角的一般步骤是：建立适当的空间坐标系确定相应的点的坐标确定相应的点的向量的坐标用夹角公式确定两条异面直线所成的角举一反三：【变式】长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若ABBC2，AA14，试用向量法求：的夹角的余弦值.【答案】如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).(1)令的夹角为，则cos.的夹角的余弦值为.【高清课堂：立体几何中的向量方法399112例题2】例7. 已知正方体，点是的中点，点在上，且，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】设正方体棱长为4，建立空间直角坐标系Dxyz,则知A（4,0,0）, C(0，4，0), D1(0，0，4) ，设得 令直线与平面所成角的正弦值为.【总结升华】用传统几何法求直线与平面所成的角，关键是找出与已知平面垂直的直线，从而确定斜线在面内的射影，得到斜线和平面所成的角，计算在三角形中进行用向量法求直线与平面所成的角，关键是建立恰当的坐标系，求出斜线对应向量的坐标和平面的法向量坐标，由夹角公式及线面角与线线角的关系得到结果举一反三：GDDA1C1B1CBKxyzAE【变式】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用正弦值表示）；【答案】如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设CA2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ， ， a1， 为平面ABD的法向量，且。 A1B与平面ABD所成角的正弦值是。例8已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的余弦值。【思路点拨】可建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求解zyxD1A1DB1C1CBA【解析】如图建立空间直角坐标系，（1，1，0），（0，1，1） 设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量， 由 可解得（1，1，1）易知（0，0，1），所以，所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的余弦值为或【总结升华】用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求 出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小举一反三：【变式】如图，三棱锥中，面，求二面角的余弦