高考数学选修知识讲解_定积分的简单应用（基础）

定积分的简单应用编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。2.会用定积分求变速直线运动的路程3.会用定积分求变力作功问题。【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：2.如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：3由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，在区间上）围成的图形的面积：.4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积：要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： 当平面图形的曲边在轴上方时，容易转化为定积分求其面积； 当平面图形的一部分在轴下方时，其在轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。要点三、定积分在物理中的应用 速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。【典型例题】类型一、求平面图形的面积【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】例1计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。【解析】 ，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤：作图象；求交点，定积分上、下限；用定积分表示所求的面积；微积分基本定理求定积分。举一反三：【变式1】（2015 天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】已知两条曲线交于点（0，0）和（1，1），且在此两点之间直线在抛物线上方，因此。【变式2】求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。【答案】所求图形的面积为例2 计算由直线y=x3和抛物线y2=4x所围成的平面图形的面积。【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。【解析】 画出直线y=x3和曲线y2=4x。 则所求平面图形的面积为如图1-5-3-7所示的阴影部分面积，解方程组得交点A（1，2），B（9，6）。又直线y=x3与x轴交于点D（3，0），过A、D作x轴的垂线把阴影分割成S1、S2、S3、S4四部分，则根据定积分的几何意义有 。【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。举一反三：【变式1】(2015春 哈尔滨校级期末)由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（ ） A. B.3 C. D. 【答案】由题意，直线及曲线所围成的封闭的图形如图：直线与曲线的交点为（1,2），所以阴影部分的面积为：， 故选B。【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例2】【变式2】计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.【答案】作出直线，曲线的草图，所求面积为上图阴影部分的面积解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) . 直线与x轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S1+S2.类型二、求变速直线运动的路程例3物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）【思路点拨】对速度函数积分即可得物体A所走过的路程，从而根据题意建立方程进行求解。【解析】设A追上B时,所用的时间为依题意有即，=5 (s)所以 =130 (m)因此5秒后两物体相遇，此时物体A走过了130米。【总结升华】利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。举一反三：【变式】一辆汽车的速度-时间曲线如图1-5-3-9，求该汽车在这1 min内行驶的路程。 【答案】由图象可得，由变速直线运动的路程公式可得 。故该汽车在1 min内行驶的路程是1350 m。类型三、求变力做功例4. 一物体在变力作用下沿坐标平面内x辆正方向由x=8处运动到x=18处，求力做的功。【思路点拨】对变力F进行定积分即可得变力所作的功。【解析】 如右图，阴影部分的面积即所做的功。 ，做的功。【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。举一反三：【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例5】【变式】求证： 把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径【答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G，其中G为引力常数 则当质量为m物体距离地面高度为x（0xh）时，地心对它有引力f (x) = G故该物体从地面升到h处所做的功为 dx =dx = GMmdx = GMm =类型四、定积分的综合应用例5. 在曲线y=x2（x0）上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，求：（1）切点A的坐标。（2）过切点A的切线方程。【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出围成图形的面积。【解析】 如图，设切点A（x0，y0），由y=2x知过A点的切线方程为yy0=2x0(xx0)，即。令y=0，得，即。设由曲线与过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，。即。所以x0=1，从而切点A（1，1），切线方程为2xy1=0。【总结升华】 本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲边AOB的面积，所以设出切点A的坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。举一反三：【变式】 有一直线与抛物线y=x2相交于A,B两点,AB与抛物线所围成的图形的面积恒等于,求线段AB的中点P的轨迹方程.xyABO【答案】 如图所示,设抛物线上的两点为A(a