高考数学必修知识讲解数列的全章复习与巩固基础

数列的全章复习与巩固编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】1系统掌握数列的有关概念和公式；2掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；3了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；4掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】 数列的通项 通项公式等差中项前n项和公式等差数列性质通项公式等比中项前n项和公式等比数列性质数列数列前n项和数列的递推公式应用【要点梳理】要点一：数列的通项公式数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。要点诠释：不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，1，4，2，就写不出通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列1，1，1，1，的通项公式可以写成，也可以写成；仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。通项与前n项和的关系：任意数列的前n项和；要点诠释：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n2时的，（3）如果令n2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法定义法：（常数）是等差数列；中项公式法：是等差数列；通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列。要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；特别，若，则（3）等差数列中，若.（4）公差为d的等差数列中，连续k项和， 组成新的等差数列。（5）等差数列，前n项和为当n为奇数时，；当n为偶数时，；。（6）等差数列，前n项和为，则（m、nN*，且mn）。（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、qN*，且mn，pq），则。（8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，成等差数列，新公差.等差数列前n项和的最值问题：等差数列中 若a10，d0，有最大值，可由不等式组来确定n； 若a10，d0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n.要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.要点三 ：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法（1）定义法：（q是不为0的常数，nN*）是等比数列；（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数nN*）是等比数列；（3）中项公式法：（，）是等比数列. 等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则.特别，若，则（3）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列.（4）公比为q的等比数列中，连续k项和， 组成新的等比数列。（5）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，。（6）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，成公比为qk的等比数列。（7）若为正项等比数列，则（a0且a1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a0且a1）为等比数列。（8）等比数列前n项积为，则等比数列的通项公式与函数：方程观点：知二求一；函数观点：时，是关于n的指数型函数； 时，是常数函数；要点诠释：当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是非零常数列。要点四：常见的数列求和方法公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和。分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则，如an= 错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差d0等差数列，是公比q1等比数列，如an=(2n-1)2n.一般步骤：，则所以有要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.要点五：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一：数列的概念与通项例1写出数列：，的一个通项公式.【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，恰是, ,可用表示；【解析】通项公式为：.【总结升华】求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式。如果把数列的第1，2，3，项分别记作，那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式；通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可； 给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式1】数列：，的一个通项公式是（ ）A. B.C. D.【答案】采用验证排除法，令,则A、B、C皆被排除，故选D.【变式2】给出数表： （1）前行共有几个数？（2）第行的第一个数和最后一个数各是多少？（3）求第行的各数之和；（4）数100是第几行的第几个数？【答案】（1）；（2），；（3）；（4）第14行的第9个数。类型二：等差、等比数列概念及其性质的应用例2.已知三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列，求这三个数。【思路点拨】成等比数列的三个数我们可以设为、，可以简化运算.【解析】设这三个数为、，由题知，解得，又，构成等差数列，即，解得或，这三个数为2，6，18或18，6，2。【总结升华】 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。方程思想在数列中很重要。举一反三：【变式1】如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.【答案】设等差数列首项为，公差为d，则【高清课堂：数列综合381084 例1】【变式2】已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.【答案】（1）或（2）例3.设是等差数列的前n项和，若，则等于( )A B C D【思路点拨】利用等差数列的性质来解：等差数列中， ，也成等差数列.【解析】由题意知，成等差数列，由已知得，故公差为，所以，故，故，所以故选A。【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点，熟练掌握它们的性质并灵活运用，能使问题简洁.举一反三：【变式】 已知等差数列，, , 则（ ）A.125 B.175C.225D.250【答案】C方法一：为等差数列，,成等差数列，即， 解得，选C.方法二：取特殊值（适用选择题）：令，由题意可得,，, 选C.方法三：,两式相减可得， .选C.例4设Sn、Tn分别为等差数列an，bn的前n项和，满足，求.【思路点拨】利用等差数列的前n项求和公式及性质是解决本题的关键，主要利用： 进行求解.【答案】【解析】方法一：方法二：设(k0)， a11=S11-S10=11k(711+1)-10k(710+1)=148k b11=T11-T10=11k(411+27)-10k(410+27)=111k .【总结升华】等差数列的中项在前n项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n项和与通项公式的联系.举一反三：【变式1】等差数列an中，Sn=50，求项n.【答案】，由（1）+（2）得:，.【变式2】已知各项均为正数的等比数列，则_.【答案】由已知得，故.【变式3】等差数列中，,，则它的前_ 项和最大，最大项的值是_.【答案】7，49设公差为d, 由题意得3a1+d=11a1+d，得d=-2,有最大值.又S3=S11,可得n=7， S7为最大值，即S7=713+(-2)=49.类型三：由递推关系求数列通项公式例5已知数列中，求.【思路点拨】把整理成，得数列为等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式.【解析】法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且法二： 由得：设，则数列为等比数列法三：，【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列. 若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。举一反三：【变式1】数列中，则 。【答案】 为首项为2公比也为2的等比数列。，（n1）n1时显然n=1时满足上式【变式2】在数列an中，a1=1，an+1=，求an.【答案】，将以上各式叠加，得又n=1时，类型四：与的关系的综合运用例6.设为数列的前n项和，nN+，其中k是常数 (1)求及； (2)若对于任意的mN+，成等比数列，求k的值【思路点拨】（1）利用n2时，进行求解，注意对n=1时进行验证；（2）利用等比中项及恒成立问题求解.【解析】(1)当n1时， 当n2时， 经检验，n1时，上式成立， (2) ，成等比数列， ，即， 整理得：，对任意的mN+成立， k0或1【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式1】已知正项数列an，其前n项和Sn满足，且a1，a3，a15成等比数列，求数列an的通项an.【答案】， ，解之得a1=2或a1=3.又， 由-得，即an+an-10，an-an-1=5(n2).当a1=3时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列a13；当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，a1=2，an=5n-3.【变式2】已知数列的前项和为，。（1）求；（2）求证：数列是等比数列。【答案】（1）由，得，又，即，得。（2）证明：当时，得，又，所以为首项为，公比为的等比数列。【变式3】（2016 浙江文）设数列an的前n项和为Sn。已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*。.（I）求通项公式an；（II）求数列ann2的前n项和。【答案】（1）由题意得：，则，又当n2时，由an+1an=(2Sn+1)(2Sn1+1)=2an，得an+1=3an，所以，数列an的通项公式为an=3n1，nN*。（2）设bn=|3n1n2|，nN*，b1=2，b2=1。当n3时，由于3n1n+2，故bn=3n1n2，n3。设数列bn的前n项和为Tn，则T1=2，T2=3。当n3时，所以，类型五：数列的求和问题例7. 求数列1，的前n项和.【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和。【解析】（1）当时， （2）当时，；（3）当，原数列为1，0，1，0，1，0， 若为偶数，令（），则； 若为奇数，令（），则.【总结升华】分类讨论和n的奇偶是本例化简的关键.举一反三：【变式1】求数列的前n项和。【答案】所以可以得到：。【变式2】求和：【答案】a=0或b=0时，当a=b时，；当ab时，类型六：应用题例8某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加.(1) 设n个月内的总投入为an万元，总收入为bn万元，写出an，bn；(2) 问经过几个月后商场开始扭亏为盈.【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句，容易看出每月的投入和收入均构成等比数列。【解析】 (1)由题意，得.(2)由题意，令an0.t1，解得t，即.取n4，则；取n5，则第5月开始扭亏为盈【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.举一反三：【变式】某地区原有森林木材