高考物理总复习知识讲解 动量方法及其应用

高考冲刺：动量方法及其应用编稿：李传安 审稿：张金虎【高考展望】本专题主要讨论利用动量定理和动量守恒定律分析问题的方法。动量定理和动量守恒定律是自然界中适用范围非常广泛的物理规律，是高中物理的主干和重点知识，从动量定理和动量守恒定律角度分析处理物理问题是高中物理中处理物理问题的重要方法，也是历年高考热点。寻找守恒量的方法同时也是分析、解决电学、热学问题的重要方法。历年高考试卷中的力学综合问题往往与动量定理和动量守恒定律知识有关，并且还综合牛顿运动定律、圆周运动以及机械能、电场、磁场、电磁感应、近代物理等知识点，这类问题过程多样复杂，信息容量大，综合程度高，难度大。 动量定理和动量守恒定律是本专题知识的重点。在对本专题知识的复习中，应在物理过程和物理情景分析的基础上，分析清楚物体的受力情况和作用时间情况，物体初态、末态的动量大小和方向（即分析动量的变化量），恰当地选取研究对象和研究过程，准确地选用适用规律。 【知识升华】“动量方法”简介：是从“力的冲量、物体的动量变化和相互作用过程中的动量之和变化”来研究运动过程的学习研究方法。用到的主要知识是动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律、功能关系。考点一、动量定理动量定理是指合外力的冲量等于物体动量的变化。公式为：要点诠释：动量定理中的左边指的是合外力的冲量。 求合外力的冲量可先求所有力的合外力，再乘以时间；也可以求出各个力的冲量再按矢量运算法则求所有力的合冲量。如果作用在被研究对象上的各个外力的作用时间不同，就只能先求每个外力在相应时间内的冲量，然后再求出所受外力冲量的矢量和。公式中p指的是动量的变化，不能理解为动量，它的方向与动量方向可以相同，也可以相反，甚至可以和动量方向成任意角度，但p一定跟合外力冲量I合方向相同。动量定理描述的是一个过程，它表明物体所受合外力的冲量是物体动量变化的原因，物体动量的变化是由它受到的外力经过一段时间积累的结果。动量定理是一个矢量式，运算应遵循平行四边形定则。若公式中各量均在一条直线上，可规定某一方向为正，根据已知各量的方向确定它们的正负，从而把矢量运算简化为代数运算。动量定理公式中的p-p或mv-mv是研究对象的动量的改变量，公式中的“-”号是运算符号，与正方向的选取无关。动量定理说明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相同，方向一致，单位等效，但不能认为合外力的冲量就是动量的增量。物体动量变化的大小和方向决定于合外力冲量的大小和方向。动量定理中的F应理解为变力在作用时间内的平均值,即物体所受的合外力等于物体动量的变化率。例如平抛运动物体的动量变化率等于重力。物体动量变化的快慢决定于物体所受的合外力，合外力大的物体，动量变化的快；合外力小的物体，动量变化的慢。考点二、动量守恒定律内容：相互作用的物体所组成的系统，如果不受外力作用，或它们所受外力之和为零，则系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。要点诠释：表达式： 变化式，条件：系统不受外力或合外力为零时系统的动量守恒；系统在某一个方向上的外力之和为零，系统在这个方向上动量守恒。动量守恒定律适用的范围：适用于两个或两个以上物体组成的系统。动量守恒定律是自然界普遍适用的基本规律，对高速或低速运动的物体系统，对宏观或微观系统它都是适用的。动量守恒定律的四性a系统性、b矢量性、c同系性、d瞬时性。【典型例题】类型一、求平均作用力、冲量等问题例1、一质量为100g的小球从0.80m高处自由下落到一厚软垫上。若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.20 s，则这段时间内软垫对小球的平均冲击力为多少(取g=10 m/s2，不计空气阻力)？【思路点拨】求平均冲击力问题，应根据动量定理求解。【答案】3.0N【解析】解法一:小球自由下落，接触软垫前的速度为 在0.20s内，取向上为正方向，由动量定理有： 得 解法二：自由下落时间为 全程由动量定理，取向上为正方向， （注意重力的作用时间） 得 【总结升华】研究对象要取小球，对小球进行受力分析，一般设所求的力的方向为正方向，结果求出的为正。正确分析动量的变化，即初态动量大小、方向，是正还是负，末态动量大小、方向，是正还是负，减号是公式里的运算符号。全程应用动量定理时一定要注意力的作用时间，一样进行初态、末态动量分析，全程应用动量定理的好处是往往初态、末态动量都为零，计算就简单了，这一点与全程应用动能定理相似。举一反三【变式】(2014 全国新课标卷)如图所示，质量分别为mA、mB的两个弹性小球A、B静止在地面上，B球距地面的高度h0.8m，A球在B球的正上方，先将B球释放，经过一段时间后再将A球释放，当A球下落t0.3s时，刚好与B球在地面上方的P点处相碰，碰撞时间极短，碰后瞬间A球的速度恰为零，已知mB3mA，重力加速度大小g取10m/s2，忽略空气阻力及碰撞中的动能损失求：(1)B球第一次到过地面时的速度；(2)P点距离地面的高度【答案】(1) 4 m/s (2) 0.75 m【解析】(1)设B球第一次到达地面时的速度大小为vB，由运动学公式有 将h0.8 m代入上式，得v14 m/s (2)设两球相碰前后，A球的速度大小分别为v1和v1(v10)，B球的速度分别为v2和v2，由运动学规律可得v1gt 由于碰撞时间极短，重力的作用可以忽略，两球相碰前后的动量守恒，总动能保持不变，规定向下的方向为正，有mAv1mBv2mBv2 设B球与地面相碰后速度大小为vB，由运动学及碰撞的规律可得vBvB 设P点距地面的高度为h，由运动学规律可得 联立式，并代入已知条件可得h0.75 m 类型二、求连接体脱落问题【高清课堂：369025动量方法及应用 例2】例2、如图所示，质量分别为m和M的两个木块A和B用细线连在一起，在恒力F的作用下在水平桌面上以速度v0做匀速运动。突然两物体间的连线断开，这时仍保持拉力F不变，求当木块A停下的瞬间木块B的速度的大小。【思路点拨】本题可以用“动力学方法”或“动量方法”求解。对AB系统：匀速运动时合力为零，连线断开后系统所受力仍为F和两物体分别所受摩擦力，也就是说系统所受合力不变，系统的动量守恒，应根据动量守恒定律求解。【答案】【解析】解法一：动力学方法：开始时，匀速直线运动：绳断后：A： B: 解得 解法二：动量方法：绳断后到A停止运动前，拉力没变，A、B所受摩擦力没有变，外力之和没有变，改变的只是系统内力，因此系统动量守恒。 由动量守恒定律，以运动方向为正方向： 得 【总结升华】准确分析系统动量是否守恒（系统所受外力之和为零），正确写出初动量、末动量是解题的关键。用动量方法比动力学方法简捷多了。动量定理或动量守恒定律是建立在动力学基础之上的，可以说是动力学的一个推论，显然用推论进行分析相对来说会简捷一些。举一反三【变式】一卡车拖挂一相同质量的车厢，在水平直道上以的速度匀速行驶，其所受阻力可视为与车重成正比，与速度无关。某时刻，车厢脱落，并以大小为的加速度减速滑行。在车厢脱落后，司机才发觉并紧急刹车，刹车时阻力为正常行驶时的3倍。假设刹车前牵引力不变，求卡车和车厢都停下后两者之间的距离。【答案】【解析】 设卡车的质量为M，车所受阻力与车重之比为；刹车前卡车牵引力的大小为，卡车刹车前后加速度的大小分别为和。重力加速度大小为g。由牛顿第二定律有脱落前 脱落后 设车厢脱落后，内卡车行驶的路程为，末速度为，根据运动学公式有 式中，是卡车在刹车后减速行驶的路程。设车厢脱落后滑行的路程为有 卡车和车厢都停下来后相距 由至式得 带入题给数据得 类型三、求碰撞、爆炸、反冲、相互作用问题碰撞模型：正碰不论地面情况如何，在碰撞瞬间，都遵循动量守恒：（若粗糙，由于时间极短，内力外力） 根据碰撞是否损失机械能，把碰撞分为1、弹性弹性碰撞 特殊情况： 当时 ， 彼此交换速度。（此种情况高考经常考）2、非弹性碰撞 3、完全非弹性碰撞（碰后粘在一起） ，损失的能量最大。【高清课堂：355892 碰撞 例3】例3、甲、乙两球在水平光滑轨道上向同方向运动，它们的动量分别是=5kgm/s、=7kg m/s甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10kgm/s。则两球质量与间的关系可能是下面的哪几种？（ ）A= B=2 C=4 D=6 【思路点拨】这类问题的基本方法就是三项基本原则：（1）碰撞前后总动量相等（动量守恒）；（2）碰撞前的总能量大于等于碰撞后的总能量（能量不增加）；（3）要符合实际（确定速度大小和方向）。【答案】C【解析】由动量守恒定律： 能量不增加：根据 ，碰撞前的总能量大于等于碰撞后的总能量 得要符合实际：甲追上乙， 得碰撞后甲的速度小于乙的速度 得综上： 所以C正确。【总结升华】解决这一类问题时一定要按照三步分析，一是碰撞前后总动量相等，即动量守恒；二是碰撞前的总能量大于等于碰撞后的总能量，即能量不增加原则；三是要符合实际，甲追上乙，必须，碰撞后甲的速度小于乙的速度，不可能跑到乙的前面去。举一反三【变式】质量为1kg的小球A，在光滑水平面上以速度6m/s与质量为2kg的速度为2m/s的物体B发生碰撞，则碰后A、B两物体的速度可能值为：A、=5m/s，=2.5 m/s B、=2 m/s，=4 m/sC、=-4 m/s，=7 m/s D、=7m/s，=1.5 m/s【答案】B【解析】得考虑三个方面：（1）动量守恒，四个选项都满足（2）能量守恒，所以末动能初动能，即：，C、D选项排除，（3）若碰后同向运动，A在后，所以，排除A、D，所以选项B正确。例4、(2014 重庆卷)一弹丸在飞行到距离地面5m高时仅有水平速度v2m/s，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为31，不计质量损失，重力加速度g取10m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是【答案】B【解析】 弹丸在爆炸过程中，水平方向的动量守恒，有，解得，爆炸后两块弹片均做平抛运动，竖直方向有，水平方向对甲、乙两弹片分别有，代入各图中数据，可知B正确类型四、求动量与能量的综合问题【高清课堂：369025动量方法及应用 例4】例5、如图所示，一轻质弹簧两端各连接一块质量均为m的滑块A和B，A，B都静止于水平光滑面上，质量为m4的子弹以水平速度v 射入A中不再穿出，求滑块B获得的最大动能。 【思路点拨】子弹打入A的过程动量守恒定律，当弹簧处于原长时，B速度最大，动能最大，再根据动量守恒定律、机械能守恒定律求出B获得的最大动能。 【答案】【解析】从动力学角度分析：子弹和A以共同速度运动，则弹簧压缩，B加速，只要弹簧处于压缩，B都加速，所以当弹簧处于原长时，B速度最大。子弹打入A，由动量守恒定律，设子弹与A的共同速度为 得当弹簧恢复原长时，B速度最大，设此时子弹与A的速度为，B的速度为 解得 所以B的最大动能 【总结升华】子弹打入A的过程类似于完全非弹性碰撞，是有能量损失的，不能从开始到弹簧原长直接应用动量守恒定律，必须把子弹打入A的过程分开单独作为一个物理过程，这个过程动量守恒。关键的物理条件：当弹簧处于原长时，B速度最大。当弹簧压缩到最大时是弹性势能最大。 此外，本题还可以求弹簧处于原长时A的速度和动能，子弹打入A的过程中损失的机械能。举一反三【变式1】如图所示，A、B两个物体放在光滑的水平面上，中间由一根轻质弹簧连接，开始时弹簧呈自然状态，A、B的质量均为M0.1kg，一颗质量m25g的子弹，以45m/s的速度水平射入A物体，并留在其中求在以后的运动过程中， （1）弹簧能够具有的最大弹性势能； （2）B物体的最大速度【答案】（1） （2） 【解析】（1）子弹击中木块A，系统动量守恒由，有弹簧压缩过程由子弹A、B组成的系统不受外力作用，故系统动量守恒且只有系统内的弹力做功，故机械能守恒选取子弹与A一起以速度运动时及弹簧压缩量最大时两个状态，设最大压缩量时弹簧的最大弹性势能为，此时子弹A、B有共同速度，则有代入数据可解得，（2）弹簧恢复原长时，最大，取子弹和A一起以速度运动时及弹簧恢复原长时两个状态，则有 代入数据可解出B物体的最大速度【变式2】如图，ABC三个木块的质量均为m。置于光滑的水平面上，BC之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触可不固连，将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把BC紧连，使弹簧不能伸展，以至于BC可视为一个整体，现A以初速沿BC的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A，B分离，已知C离开弹簧后的速度恰为，求弹簧释放的势能。【答案】【解析】设碰后A、B和C的共同速度的大小为v，由动量守恒得 设C离开弹簧时，A、B的速度大小为，由动量守恒得 设弹簧的弹性势能为，从细线断开到C与弹簧分开的过程中机械能守恒，有 由式得弹簧所释放的势能为 例6、质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图所示。一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。 【思路点拨】分析物体的运动过程：物块先自由下落，机械能守恒物块与钢板碰撞时，因碰撞时间极短，系统所受外力远小于相互作用的内力，遵守动量守恒定律碰撞后，弹簧、物块与钢板组成的系统机械能守恒由题碰撞后，物块与钢板回到O点时，此时弹簧的弹性势能与未碰撞时相等根据动量守恒定律、机械能守恒定律和相等的条件分别研究物块质量为m和2m的情况，再求解物块向上运动到达最高点O点的距离【答案】【解析】物块自由下落，与钢板碰撞，压缩弹簧后再反弹向上，运动到O点，弹簧恢复原长。碰撞过程满足动量守恒条件。压缩弹簧及反弹时机械能守恒。自由下落3，根据机械能守恒： 物块与钢板碰撞时，根据动量守恒： (为碰后共同速度)物块与钢板一起升到O点，根据机械能守恒：解得 如果物块质量为2m，则： 设回到O点时物块和钢板的速度为，则：从O点开始物块和钢板分离， 解得【总结升华】弹簧在竖直方向上压缩后振动，机械能守恒，关键是表达式（计算公式）怎么写？本题解析中第一个机械能守恒公式应该这样理解：物块与钢板碰撞后瞬间位置即处的机械能（动能与弹性势能之和）等于反弹到O点处的机械能（动能为零，只有重力势能）。第二个机械能守恒公式同样理解。类型五、求滑块与滑板（小车）问题例7、如图所示，一辆质量为M = 3.0kg的平板小车，在光滑的水平轨道上以速度=4.0m/s做直线运动，今在车前缘放一个质量为m = 2.0kg的小物体，物体可视为质点，且相对地面速度为零. 设物体与车板之间的动摩擦因数= 0.2.求：（1）小物体相对车静止时平板车的速度 （2）车至少为多长，才能保证小物体不掉下去 【思路点拨】水平面光滑，滑块小车组成的系统不受外力（摩擦力是内力），所以系统动量守恒，物体相对车静止时车的速度是共同速度。最好根据能量守恒定律求车的长度。【答案】（1） （2）【解析】（1）由动量守恒定律 得（2）小车受到小物体给它的向后的摩擦力（向左）做匀减速运动，小物体受到向前（向右）的摩擦力做匀加速运动，位移关系如图。解法一：用动力学方法，根据运动学公式和牛顿第二定律对m: 对 M： 解法二：用能量守恒方法，根据能量守恒定律 解得 又 解得 【总结升华】要分析清楚哪个做匀加速运动，哪个做匀减速运动，加速度是否变化。正确画出小车和滑块对地的位移图，找出两个位移与小车长度的几何关系。第二问显然用能量法解题要简捷得多。举一反三【变式1】如图所示，质量为0.4kg的木块以2m/s的速度水平地滑上静止在光滑水平地面上的平板小车，车的质量为1.6kg，木块与小车之间的摩擦系数为0.2（g取10m/s2）。设小车足够长，求：（1）木块和小车相对静止时小车的速度（2）从木块滑上小车到它们处于相对静止所经历的时间（3）从木块滑上小车到它们处于相对静止时木块在小车上滑行的距离。【答案】（1） （2） （3）0.8m【解析】（1）以木块和小车为研究对象，由动量守恒定律可得：所以（2）再以木块为研究对象，由动量定理可得 （3）木块做匀减速运动，加速度 ，车做匀加速运动，加速度 ，在此过程中木块的位移 车的位移由此可知，木块在小车上滑行的距离为S=S1S2=0.8m，即为所求。【变式2】一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止。重力加速度为g。求（i）木块在ab段受到的摩擦力f；（ii）木块最后距a点的距离s。【答案】 【解析】（i）设木块和物体P共同速度为v,两物体从开始到第一次到达共同速度过程由动量守恒和能量守恒得： 由得： （ii）木块返回与物体P第二次达到共同速度与第一次相同（动量守恒）全过程能量守恒得： 由得：类型六、求电场、磁场中的有关问题例8、如图所示，小车A的质量M=2kg，置于光滑水平面上，以初速度为v0=14m/s向右滑行。途中，将一带正电q=0.2C的可视为质点的物体B，质量m=0.1kg，轻放在小车的右端。整个空间存在着匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.5T，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长。（1）B物体的最大速度？（2）小车A的最小