第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件

第十五章 含参变量的积分教学目的与要求1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；6 掌握函数和函数的定义及其相互关系；7 掌握函数和函数的性质。教学重点1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分；3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等6 函数和函数的性质。教学难点1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 1 含参变量的常义积分教学目的1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.教学过程1 含参变量的常义积分的定义（P373）2 含参变量的常义积分的分析性质2.1 连续性定理P374 1 若函数在矩形域上连续 , 则函数在上连续 . 2 若函数在矩形域上连续, 函数和在上连续 , 则函数在上连续. 例 1 求下列极限(1) (2) 2.2 积分次序交换定理P375例2 见教材P375.2.3 积分号下求导定理P375376 3 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导 , 且 .( 即积分和求导次序可换 ) . 4设函数及其偏导数都在矩形域上连续, 函数和定义在, 值域在上, 且可微 , 则含参积分在上可微 , 且 . 例2 求下列函数的导数(1) (2) 例3 计算积分 . 例 4 设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 的阶导数存在 , 且 .2.4(P376定理15.1.4)例4 求的导数例5 研究函数 的连续性，其中是上连续且为正的函数。解 令，则在连续，其中。从而在连续。当时，当时，记 ，则若存在，则 故在不连续。或用定积分中值定理，当时， ，使 若存在，则 故在不连续。问题1 上面最后一个式子能否写为。事实上，是依赖于的，极限的存在性还难以确定。例6 设在连续，求证 （其中 ）满足微分方程 。证 令，则， 它们都在上连续，则 例7 设为连续函数， 求。解 令，则在第一项中令，在第二项中令，则问题2 是否有 例8 利用积分号下求导法求积分 ， 解 令 时，无定义，但，故补充定义 ， 则在连续（），从而在连续。显然在点不连续，但分别在和连续，故有 ， 或令 ， 或积分之， ， 因为在连续，故得，从而得 ， 作业：P378-379 2、3、5、6、8（2）（3）、11 2 含参变量的反常积分教学目的1 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；2 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；教学过程1 含参变量的反常积分的一致收敛含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分. 定义P379-381无穷积分在区间:一致收敛: 有;非一致收敛: 有.2 一致收敛性的判别法2.1(收敛原理) P3812.2(判别法)P382例1 证明:无穷积分在R一致收敛.2.3 (判别法和判别法)P382-3852.4 (定理)P3853 一致收敛积分的分析性质3.1 连续性定理3.2 积分次序交换定理3.3 积分号下求导定理例 2 利用积分号下求导求积分 ， （为正整数，）解 因为 ， 而 收敛，故 在一致收敛。因为 故 由数学归纳法易证于是 例3 证明（1）关于一致收敛； （2）关于不一致收敛。证 （1）用分段处理的方法。 ， 令 得因为 ，则 ，当时，有 （1）又 ， 而 收敛，由M判别法，在一致收敛，即，有， （2）上式对显然成立，结合（1）（2）式，有 ， 即关于一致收敛。（2）因为时，发散，因此关于不可能一致收敛。例4 计算积分 。解 令 在第二项积分中令 ，得故 作业：P392393 2、4（1）（2）、5、8、10、12、15 3 积分 教学目的1 掌握函数和函数的定义及其相互关系；2 掌握函数和函数的性质。教学过程1 函数(第一类积分) 1.1 定义 确定定义域1.2 函数的性质P3942 函数(第二类积分)